Если делимое разделить на частное, то получится делитель.

Например:Решите уравнение 16 : х= 2. (В уравнении неизвестен делитель. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное. х= 1.6 : 2, х= 8.)

№ 3 Этапы решения задачи

Процесс решения каждой арифметической задачи осуществляется поэтапно, независимо от способа решения.

Рассмотрим возможный план работы учащихся над задачей:

1.Анализ текста задачи;

2. Схематическая запись условия;

3. Поиск решения; составление плана решения;

4. Осуществления плана решения задачи;

5. Проверка полученного ответа.

Этот план может существенно меняться, если задача решается устно или составлена по иллюстрации.

1.Анализ текста задачи. Основное назначение этапа – осмыслить ситуацию, отраженную в задаче; выделить условие и требования, назвать данные и искомые, выделить условия и требования, назвать данные и искомые, выделить величины и зависимости между ними (явные и неявные).

На этом этапе решения задачи используют следующие приемы.

1. О чем эта задача?

2. Что требуется найти в задаче?

3. Что означают слова 'за все это время'?

4. Что в задаче известно о движении каждого из участников его?

5. Что дальше известно?

6. Что является искомым: число, значение величины, вид некоторого отношения?

Большую помощь в осмыслении содержания задачи и создания основы для поиска решения задачи оказывает переформулировка текста задачи – замена данного в нем описания ситуации другим, сохраняющим все отношения, связи и количественные характеристики, но и более явно их выражающим.

2. Схематическая запись условия

Составление по условию задачи чертежа, схемы, рисунка и т. д., т.е. интерпретация условия задачи – не самоцель. Она выполняется (учителем, или учащимися под руководством учителя, или самими учащимися – в зависимости от их подготовки, от сложности задачи) только тогда, когда ученики не могут решить данную задачу. Видов интерпретации условия: Краткая запись условия задачи, чертеж по условию задачи .

3. Поиск решения; составление плана решения.

Цель данного этапа – завершить установление связей между данными и искомыми величинами и указать последовательность использования этих связей.

Решение задач – сложная интеллектуальная деятельность. Описать ее содержание в полном объеме невозможно, даже если иметь в виду деятельность, осуществляемую младшим школьником.

На этом этапе ученики должны выделить величины, входящие в задачу, данные и искомые числа, установить связи между данными и искомым и на этой основе выбрать соответствующие арифметические действия.

Проведя анализ задачи, не всегда просто найти путь ее решения. Поиск пути решения задачи является достаточно трудным процессом, для которого нет точного предписания. Укажем некоторые приемы, которые помогают осуществлять этот этап.

Одним из приемов поиска пути решения задачи является разбор задачи по тексту или по ее вспомогательной модели. Поиск пути решения задачи можно осуществлять от вопроса задачи к данным (аналитический путь) или от данных к вопросу (синтетический путь).

При разборе задачи нового вида учитель должен в каждом отдельном случае поставить детям вопросы так, чтобы навести их на правильный или осознанный выбор арифметических действий.

Очень важно чтобы вопросы не были подсказывающими, а вели бы к самостоятельному нахождению пути решения задачи.

Разбор задачи заканчивается составлением плана решения.

План решения – это объяснение того, что узнаём, выполнив то или иное действие, и указания по порядку арифметических действий.

Часто при введении задач нового вида ученики затрудняются самостоятельно составить план решения, тогда им помогает учитель.

4. Осуществления плана решения задачи.

Назначением этапа – найти ответ на требование задачи. Немало важную роль при решении задач играет запись найденного решения.

Решение задачи может быть выполнено устно или письменно. При устном решении соответствующие арифметические действия и пояснения выполняются устно. При этом надо учить детей правильно и кратко давать пояснения к выполняемым действиям.

При письменном решении записываются действия, а пояснения к ним учащиеся либо записывают, либо проговаривают устно.

В начальных классах могут быть использованы такие основные формы записи решения:

1)составление по задаче выражения и нахождение его значения;

2)составление по задаче уравнения и его решение;

3)запись решения в виде отдельных действий.

В большинстве случаев надо отдавать предпочтение первым двум формам записи решения. При такой записи учащиеся сосредотачивают главное внимание на логической последовательности действий, а не на результатах вычисления, при этом они оперируют выражениями, что способствует формированию понятия выражения, кроме того, само по себе составление по условиям задач уравнения и выражения ценно с точки зрения приобщения детей к алгебраическому способу решения задач.

Запись решения в виде отдельных действий используется, как правило, тогда, когда уравнение или выражение очень сложно и громоздко, а иногда их составить и невозможно, и в тех случаях, когда задача включает большие числа.

5. Проверка полученного ответа.

Проверить решение задачи – значит установить, что оно правильно или ошибочно.

В начальных классах используются следующие четыре способа проверки: составление и решение обратной задачи; установление соответствия между числами, полученными в результате решения задачи, и данными числами; решение задачи другим способом; прикидка ответа.

Составление и решение обратной задачи.В этом случае детям предлагается составить и решить задачу, обратную данной. Если при решении обратной задачи в результате получится число, которое было известно в данной задаче, то можно считать, что данная задача решена правильно.

Установление соответствия между числами, полученными в результате решения задачи, и данными числами. При проверке решения задачи данным способом выполняют арифметические действия над числами, которые получатся в ответе на вопрос задачи; если при этом получатся числа, данные в условии задачи, то можно считать, что задача решена правильно.

Решение задачи другим способом. Если задачу можно решить различными способами, то получение одинаковых результатов подтверждает, что задача решена правильно.

Прикидка ответа. Применение этого способа состоит в том, что до решения задачи, устанавливается область значений искомого числа, т.е. устанавливается больше или меньше какого-то из данных чисел должно быть искомое. После решения задачи определяется, соответствует ли полученный результат установленной области значений, если он не соответствует, значит, задача решена не правильно.

Следует подчеркнуть, что в реальном процессе решения задачи, отмеченные этапы не имеют четких границ и не всегда выполняются одинаково полно. Так, иногда уже при восприятии задачи решающий может обнаружить, что данная задача - известного ему вида, и он знает, как ее решать. В том случае поиск решения не вычленяется в отдельный этап и обоснование каждого шага при выполнении первых трех этапов делает необязательной проверку после выполнения решения. Однако полное, логически завершенное решение обязательно содержит все этапы. А знание возможных приемов выполнения каждого из этапов делает процесс решения любой задачи осознанным и целенаправленным, а значит, и более успешным.

В процессе решения текстовых арифметических задач различных типов у учащихся начальной школы должны вырабатываться общие приемы решения задачи. Этой целью учитель организует работу над задачей, как правило, по одному и тому же плану. Накапливая опыт такой работы, ученики все с большей степенью самостоятельности применяют соответствующие умения.

№ 21. Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям

Включают две переменные и одну или несколько постоянных величин, причем даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми.

По отношению к каждой тройке величин, находящихся в пропорциональной зависимости, можно выделить шесть видов задач на нахождение неизвестных по двум разностям. Однако в начальных классах ограничиваются рассмотрением двух следующих видов задач.

Сначала рассматриваются задачи I вида, а затем II. Эти задачи решаются только способом нахождения значения постоянной величины.

До ознакомления с решением задач на нахождение неизвестных по двум разностям важно предусмотреть специальные подготовительные упражнения, с помощью которых раскрывается основная проблема задачи.

В качестве п о д г о т о в и т е л ь н ы х у п р а ж н е н и й к введению задач этого типа полезно предлагать задачи-вопросы и простые задачи повышенной трудности, которые помогут детям уяснить соответствие между двумя разностями, например:

1) Сестра купила 5 одинаковых тетрадей, а брат 8 таких же тетрадей. Кто из них больше уплатил денег? Почему? За сколько тетрадей брат уплатил столько же денег, сколько уплатила сестра?

2) Брат и сестра купили тетради по одинаковой цене. Брат купил на 3 тетради больше, чем сестра, и уплатил на 9 руб. больше, чем сестра. Сколько стоила одна тетрадь?

Выполняя предметную иллюстрацию, надо показать детям, что брат купил столько же тетрадей, сколько сестра, и еще 9 руб. Отсюда можно заключить, что три тетради стоят 9 руб., значит, можно узнать, сколько стоит одна тетрадь.

Такие упражнения надо включать с различными группами пропорциональных величин.

После подготовительных упражнений можно перейти к ознакомлению с решением задач на нахождение неизвестных по двум разностям. Здесь, как и при ознакомлении с задачами на пропорциональное деление, можно использовать различные пути: можно сначала составить задачу на нахождение неизвестных по двум разностям, преобразовав знакомую задачу на нахождение четвертого пропорционального, а можно сразу предложить готовую задачу. В том и в другом случае надо записать кратко в таблице или выполнить рисунок и после того коллективного составления плана записать решение (лучше отдельными действиями с пояснениями).

На этапе закрепления умения решать задачи на нахождение неизвестных по двум разностям можно использовать упражнения аналогичные тем, которые предлагались при решении задач на пропорциональное деление. После введения задач на нахождение неизвестных по двум разностям второго вида. По аналогичной методике следует провести работу по сравнению задач этих двух видов и сравнению их решении. Полезны также упражнения по сравнению задач на пропорциональное деление и задач соответствующего вида на нахождение неизвестных по двум разностям.

Итак, задачи на нахождение неизвестного по двум разностям – задачи, которые включают две переменные величины и одну постоянную, причем даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми. Эти задачи решаются только способом нахождения значения постоянной величины.

№ 19. Тысяча

Нумерация в пределах 1000 и арифметические действия выделяются в особый концентр по следующим причинам:

- здесь заканчивается изучение нумерации чисел первого класса, класса единиц (сотни, десятки, единицы), что является основой для изучения нумерации многозначных чисел;

- закрепляются знания устных и письменных приемов вычислений;

- вводятся устные приемы умножения и деления;

- далее продолжается решение составных задач с новыми величинами, изучение геометрического и алгебраического материала.

В результате изучения нумерации учащиеся должны:

- уметь читать и записывать трехзначные числа;

- понимать образование чисел из сотен, десятков, единиц;

- усвоить названия разрядных единиц, их соотношение и уметь представлять число как сумму разрядных слагаемых;

- уметь применять знание нумерации при устных вычислениях.

Методика изучения нумерации в пределах 1000 аналогична методике изучения нумерации в пределах 100. Разница только в том, что здесь добавляется еще один разряд - разряд сотен.

Перед изучением нумерации в пределах 1000 учитель посвящает один урок повторению всех видов упражнений по нумерации в пределах 100, работает по общей схеме разбора числа, повторяет все термины.

С помощью наглядных пособий учащиеся отсчитывают 10 десятков и заменяют их одной сотней, затем отсчитывают 10 сотен и заменяют их одной тысячей.

При хорошо развитом восприятии и воображении достаточным оказывается и рисунок учебника. При изучении письменной нумерации в абаке появляется еще один кармашек с надписью "Сотни". Продолжается работа по нумерационной таблице. Основные виды упражнений такие, какие указаны в общей схеме разбора числа.

Для закрепления нумерации в пределах 1000 вводятся величины: километр, килограмм, грамм и соотношения между ними.

Многозначные числа

Нумерация многозначных чисел и действия над ними выделяются в особый концентр по следующим причинам:

- многозначные числа образуются, называются, записываются с опорой и на понятие разряда, и на понятие класса;

- арифметические действия, в основном, выполняются с использованием письменных вычислений.

В результате изучения нумерации многозначных чисел учащиеся должны:

- усвоить названия и последовательность чисел натурального ряда в пределах класса миллионов, понять, как они образуются, знать их десятичный состав;

- знать названия классов (класс единиц, класс тысяч, класс миллионов) и разрядов внутри каждого класса (единицы, десятки, сотни, единицы тысяч, десятки тысяч и т.д.);

- научиться читать и записывать любое число в пределах класса миллионов, представлять любое число в виде суммы его разрядных слагаемых;

- уметь переносить все приемы работы над числами, изученными в предыдущих концентрах, в данный концентр.

Изучение нумерации многозначных чисел начинают с повторения нумерации чисел в пределах 1000. Повторяются все виды упражнений по общей схеме разбора числа, повторяется работа с нумерационной таблицей, все термины, относящиеся к нумерации. Наиболее удобным наглядным пособием для изучения многозначных чисел являются русские счеты.

После ознакомления с числами 10000, 100000, учащиеся знакомятся классами: 1 класс - класс единиц, 2 класс - класс тысяч (читают по учебнику). Затем сравнивают 1 и 2 классы и устанавливают их сходство и различие: в каждом классе по три разряда, единицы каждого разряда в 10 раз больше предыдущей, но в 1 классе считают и группируют единицы, а в 2 классе - тысячи.

Далее изучаются числа 2 класса - числа вида 75000, 600000, 392000. Работа, в основном, ведется по нумерационной таблице. Выставляя соответствующие цифры учитель обращает внимание на особенности записи чисел 2 класса: три нуля в конце обозначают отсутствие единиц 1, 2, 3 разрядов, т.е. отсутствие единиц 1 класса, но не отсутствие самих разрядов или класса. Рассматривая десятичный состав чисел 2 класса, учащиеся говорят: 392000 - это 3 сотни тысяч, 9 десятков тысяч и 2 единиц тысяч. Повторяют также другие упражнения по общей схеме разбора числа.

На следующем этапе изучаются числа, состоящие из единиц первого и второго класса. Первые упражнения проводятся по нумерационной таблице, куда выставляются карточки с цифрами. Учащимся надо показать порядок чтения таких чисел, показывая это стрелкой (по табл.23):

В дальнейшем при разборе числа ограничиваются названием разрядов: 923427 - это 923427 единиц; 92342 десятка; 9234 сотни; 923 тысячи; 92 десятки тысяч; 9 сотен тысяч.

Для закрепления нумерации многозначных чисел рассматриваются, в частности, такие упражнения:

а) устное сложение и вычитание вида 17350-350, 40000+60 и т.п.;

б) во сколько раз увеличится число, когда в его записи справа приписывается один нуль? два нуля? три нуля? (аналогично: если отбросить);

в) увеличь число в 100 раз: 57, 146, 90. Уменьши в 10 раз числа: 340, 500, 9800;

г) вычислить: 60 100+309, 9800:10-80;

д) сравни числа: 38000 и 3800.

Дополнительно к упражнениям учебника можно предложить следующие задания:

1. Запишите: а) 371 ед. в 1 классе; б) 90 ед. во 2 классе; в) 250 ед. во 2 классе; г) 8 ед. во 2 классе. Прочитать числа. Прочитать числа. Объяснить их состав.

2. Запишите числа и объясните их состав: двести пять тысяч шестьдесят четыре; двести двадцать семь тысяч шестьсот; триста тысяч семь; шесть миллионов пять тысяч три; пятьсот тысяч шесть и др.

Работа по изучению нумерации завершается отработкой навыков применения общей схемы разбора числа.

Изучение нумерации многозначных чисел завершается с ознакомление учащихся классами миллиардов и триллионов.

№ 16. Задачи на кратное отношение вводятся во 2 классе после усвоения формулировки правила: чтобы узнать, во сколько раз одно число больше или меньше, чем другое, надо большее число разделить на меньшее. Этот вывод делается после выполнения ряда упражнений вида: "В одном ряду 6 треугольников, а в другом 2 треугольника. Узнайте, во сколько раз треугольников в первом ряду больше, чем во втором?". Рассуждаем: разделим 6 треугольников по 2, получится 3 раза по 2, значит в первом ряду в 3 раза больше, чем во втором, а во втором в 3 раза меньше, чем в первом".

Дальнейшее решение задач на кратное отношение все время опирается на вышеупомянутое правило.