Сложение и вычитание целых тысяч на основе правил арифметических действий

Учебник математики для 4 класса практически не предлагает вычислений соответствующего вида, однако учителя часто исполь­зуют их на устном счете.

К этим случаям относятся вычисления вида: 70 200 + 400, 600 100 - 99,3 008 + 351,425 100 - 24 100 и т. п.

При вычислениях используется знание десятичного состава многозначных чисел и понимание того, что во всех случаях действия затрагивают только часть первого числа (первое число может рассматриваться как сумма). Таким образом действия могут выполняться только с частью первого числа.

Например: Вычисляя сумму 70 200 + 400, можно отдельно сложить 400 и 200, а затем их сумму прибавить к числу 70 000. Фактически используется правило прибавления числа к сумме.

При выполнении вычислений в случае 425 100 - 24 100 используется правило вычитания числа из суммы. 425 100 рассматривается, как сумма 400 000 и 25 100. Из одного из слагаемых вычитается 24 100 (25 100 - 24 100 = 1 000), и полученный результат складывается с первым слагаемым: 400 000 + 1 000 = 401 000.

В основе всех этих случаев лежит хорошее знание разрядного состава многозначных чисел и умение выполнять устные вычисления целыми разрядами.

Способы письменных вычислений (в столбик)

Письменные приемы сложения и вычитания являются основными вычислительными действиями при вычислениях в объеме многозначных чисел, поскольку вычисления в уме с многозначными числами представляют собой слишком сложную проблему для всех детей. Использование письменных алгоритмов вычислений в этих условиях является психологически и методически оправданным.

Усвоение детьми нумерации четырехзначных и многозначных чисел позволяет им осуществить перенос умения складывать и вычитать числа «столбиком» из области трехзначных чисел на область многозначных чисел.

При знакомстве с письменными приемами сложения и вычитания в объеме многозначных чисел проводится аналогия с алгоритмом письменного сложения и вычитания в пределах 1000:

1) Письменное сложение и вычитание любых многозначных чисел выполняется так же, как сложение и вычитание трехзначных чисел.

2) При записи столбиком, как и при сложении трехзначных чисел следует записывать разряд под соответствующим разрядом, и складывать сначала единицы, потом десятки, а потом сотни, потом тысячи и т. д. (справа налево).

Считается, что дети хорошо научены выполнять действия сложения и вычитания в столбик, поэтому в учебнике 4 класса не предусмотрено распределение случаев сложения и вычитания по уровням сложности.

Первыми рассматриваются различные случаи с переходами через разряд как при сложении, так и при вычитании: 3 126 + 4 232; 25 346 - 13 407.

Затем рассматриваются случаи вычитания с нулями в уменьшаемом:

600 - 25; 1 ООО - 124; 30 007 - 648.

Эти случаи являются наиболее сложными, поскольку требуют «заема» разрядных единиц не из соседних, а из далеко отстоящих разрядов. Эти случаи полезно сначала сопровождать подробной по­яснительной записью на доске, чтобы дети понимали и видели, откуда появляются девятки в «пустых» разрядах.

Например:

Вычитаю единицы. Из 7 нельзя вычесть 8. Пробую занять единицу в соседнем разряде.

В разряде десятков, сотен и тысяч нет разрядных единиц, поэтому «заем» возможно произвести только из разряда десятков тысяч: 30 тыс. - 1 тыс. = 29 тыс. Подписываем 29 над 30.

«Занятую» тысячу представляем в виде суммы 1 тыс. = 1000 = = 990 + 10.

Подписываем над разрядами сотен и десятков девятки, а из 10 единиц вычитаем 8, получаем 2 единицы, Но в разряде единиц было 7 единиц. Добавляем их к полученным 2 единицам и пишем в разряде единиц 9.

Вычитаем: 9 дес. - 4 дес. = 5 дес. Пишем 5 в разряде десятков. 9 сот. - 6 сот. = 3 сот. Пишем 3 в разряде сотен.

От десятков тысяч осталось 29 тыс. Пишем 9 в разряде тысяч, 2 — в разряде десятков тысяч.

При изучении сложения и вычитания многозначных чисел рекомендуется повторять и закреплять названия компонентов и результатов действий; свойства нахождения неизвестных компонентов действий при проверке результатов вычислений; рассматривать закономерности изменения суммы и разности при изменении одного из компонентов действий.

Чтобы стимулировать ребенка к использованию умения самостоятельно вычислять в столбик, следует предлагать задания, не позволяющие механического использования калькулятора для вычисления результата. Это различные задания на нахождение ошибки в записях или цифрах вычислений, на прикидку округленных результатов вычислений, на восстановление пропущенных цифр в компонентах действий, на выбор верных ответов из предложенных и т. п. Учителю следует помнить, что механический характер вычислительных действий при вычислениях с многозначными числами быстро приводит к утомлению детей, что провоцирует появление ошибок. Поэтому не стоит задавать подряд больше трех примеров на вычисления с многозначными числами.

№ 26 Методика изучения дробей

В начальных классах, с целью подготовки к изучению дробей в 5 классе, по традиционной программе во 2 классе изучаются доли величины, их обозначение и сравнение, нахождение доли числа и числа по его доле; в 3 классе - образование дробей, их чтение и запись, сравнение дробей (простейшие случаи), нахождение части числа. Все эти вопросы раскрываются на наглядной основе.

К концу обучения в начальной школе учащиеся должны уметь: 1. Показывать и называть доли прямоугольника, круга и отрезка. 2. Читать и записывать доли в виде дроби со знаменателем, не превышающим число 10. 3. Решать задачи на нахождение доли числа и числа по его доле. 4. Показывать и называть часть прямоугольника, круга, отрезка. 5. Читать и записывать обыкновенные дроби со знаменателем, не превышающим числа 10; пользуясь записью дроби, сказать, на сколько равных частей, долей разделена величина и сколько таких частей взято. 6. Уметь сравнивать дроби, опираясь во всех случаях на рисунок. 7. Решать задачи на нахождение дроби числа.

Ознакомление с долями

Основная задача при ознакомлении с долями - научить детей практически образовать доли по математической записи и обратно: записывать доли, исходя из практических действий. Например, чтобы получить одну третью долю круга, надо круг разделить на три равные части и взять одну такую часть; если круг разделили на шесть равных частей и взяли одну часть - это значит одна шестая доля круга.

При ознакомлении с долями у каждого ученика должны быть наглядные пособия, с которыми он работает, дублируя действия учителя. Предварительно создавая проблемную ситуацию, учитель мотивирует необходимость изучения новых чисел. После этого объявления темы, предлагает учащимся взять свои квадраты (заранее приготовлены) и просит их перегибанием разделить на две равные части (показывает как надо делать). Разрезав по линии сгиба, учитель наложением показывает учащимся, что две половинки равные и одну половинку называет "это одна вторая доля квадрата". После этого просит их показать одну вторую долю своего квадрата. Далее выясняют, что целый квадрат состоит из двух вторых частей.

Далее учащиеся аналогичным образом получают одну четвертую долю квадрата. После этого показываем запись долей: 1/2 и объясняем: число 2 показывает, что квадрат разделили на две равные части, а число 1 показывает, что взяли одну такую часть и т.д.

Закрепляя понятие доли, учащимся предлагаются вопросы:

1) Объясните, как получить 1/2 долю круга?

2) Что означает выражение " 1/5 отрезка"?

3) Круг разделили на 7 равных частей. Как назовете одну такую часть?

4) Отрезок разделили на 4 разные части. Можно ли одну часть назвать "одной четвертой долей отрезка"?

5) Назовите, какая доля прямоугольника закрашена и запишите эту долю (рис.115). Что обозначают в этой записи числа, записанные выше черты и ниже черты?

Ознакомление с дробями

Образование дробей, как и образование долей рассматривается с помощью наглядных пособий.

Разделите круг на 4 равные части. Как назвать каждую такую часть? (Одна четвертая круга.) Покажите две четвертые доли. Вы получили дробь - две четвертых. Это записывают так 2/4. Сколькими частями вы покажете дробь 3/4? (Три четвертые доли.) Мы записали дроби 2/4, 3/4. Что показывает число 4? (Число 4 показывает, на сколько равных частей разделили круг.) А что показывают числа 2 и 3? (Сколько таких равных частей взяли.) Дроби 2/4 и 3/4 читают так: две четвертых, три четвертых. А теперь прочитайте упражнение учебника и объясните, как получены указанные дроби.

После ознакомления с дробями учащиеся выполняют упражнения:

1) на объяснение образования дробей по готовому рисунку;

2) на запись дробей по готовому рисунку;

3) изображение дробей с помощью отрезка (например, покажи 3/5 отрезка);

4) на сравнение дробей в основном по изображению равных прямоугольников.

Учащимся предлагается начертить 4 одинаковых прямоугольника: В первом целом прямоугольнике запишем число 1. Второй прямоугольник разделите на 2 равные части и запишите полученные доли. Сколько вторых долей в целом прямоугольнике? Третий прямоугольник разделите на 4 равные части и запишите полученные доли. Сколько четвертых долей в целом прямоугольнике? Сколько четвертых долей в половине? Что больше: одна вторая или одна четвертая? Запишем так: (1/2 > 1/4). Какие числа знаки поставим, чтобы следующие равенства и неравенства были верными: 1/2 = □ /4, 3/4 * 1/2, 2/4 * 3/4? Следующий прямоугольник делится на 8 равных частей и учащиеся отвечают на аналогичные вопросы.

Сравнение дробей можно иллюстрировать отрезками, рассуждая при этом так: "на отрезке покажу 2/5 и 3/4: для этого его разделю на 5 равных частей и возьму 2 части; такой же отрезок разделю на 4 равные части и возьму 3 части. Вижу, что второй от резок, отмеченный дугой, длиннее и поэтому 3/4 > 2/5.

№ 24 Задачи и содержание работы по изучению элементов геометрии

Тема «Элементы геометрии» занимает значительное место в программе по математике и изучается в течение всего периода начального обучения. Как правило, отдельные вопросы, относящиеся к теме, не выделяются в отдельные блоки, а переплетаются с изучением основного – арифметического – материала. Отдельно представлено измерение площади, углов, объема пространственных фигур и геометрических моделей числового ряда (числовой (координатный) луч).

Сравнительно большой объем в курсе начальной школы отводится на изучение геометрического материала. Это объясняется двумя основными причинами:

1) работа с геометрическими объектами позволяет активно использовать наглядно-действенный, наглядно-образный и наглядно-логический уровни мышления, которые наиболее близки младшим школьникам и опираясь на которые дети выходят на высшую ступень в своем развитии – словесно-логический уровень;

2) увеличение объема изучения геометрического материала в начальных классах, особенно связанного с объемными фигурами, способствует более эффективной подготовке учеников к изучению систематического курса геометрии, что позволяет снизить у школьников основного и старшего звена школы существенные трудности, возникающие при изучении геометрии.

Перечислим основные задачи изучения темы «Элементы геометрии»:

– уточнение и обобщение геометрических представлений, полученных в дошкольном возрасте;

– обогащение геометрических представлений школьников, формирование некоторых основных геометрических понятий (фигура, плоскостные и пространственные фигуры, основные виды плоскостных и пространственных фигур, их иерархическая связь между собой и т.д.);

– развитие плоскостного и пространственного воображения школьников;

– подготовка к изучению систематического курса геометрии в основном звене школы.

Решение первой задачи, особенно на первом этапе обучения, предполагает уточнение терминологии, которой пользуются дети, а также осознание признаков, позволяющих отнести геометрические фигуры к соответствующей категории.

Еще до школы практически все дети знакомятся с такими геометрическими фигурами, как круг, квадрат, треугольник, прямоугольник, овал. С ними же они сталкиваются и на уроках математики. Учителю необходимо использовать каждую ситуацию, когда дети в своей речи используют слова «кружок», «квадратик» и т.п., для замещения этих названий математическими «круг», «квадрат», «треугольник» и т.д. Так же важно, чтобы учитель следил и за собственной речью – не говорил: «Нарисуйте три кружка...» Дети постепенно овладеют правильной терминологией.

Сравнивая знакомые фигуры между собой, дети начинают осознавать, в чем заключается сходство и различие фигур. Так, они замечают, что в треугольнике меньше сторон и углов, чем в квадрате. Уже на этом этапе дети устанавливают связь между названием «треугольник» и числом углов в этой фигуре.

После установления связи между названием и числом углов треугольника необходимо продолжить эту линию и предложить детям дать другое название квадрату. Однако переключение со знакомого, привычного названия фигуры на новое может оказаться для учеников слишком трудным. В этом случае выйти на термин «четырехугольник» можно при рассмотрении произвольного четырехугольника, а затем подвести под этот термин и такие знакомые фигуры, как квадрат и прямоугольник.

Приведенная выше работа подготавливает почву для решения одного из важных аспектов решения второй задачи – формирования общего способа классификации многоугольников по числу углов. Предлагая регулярно для рассмотрения многоугольники с различным количеством углов, помогая детям найти их названия, учитель продвигает детей в осознании этого способа классификации.

С первых уроков начинается знакомство с простейшими геометрическими фигурами – точкой и линией – на уровне наглядного восприятия моделей этих фигур как в виде изображения их на чертеже, так и в качестве элементов реальных объектов, окружающих детей.

На протяжении всего обучения в начальной школе дети занимаются сравнением и выявлением свойств различных плоскостных и объемных геометрических фигур, связей между ними, их классификацией. Такой подход к изучению материала способствует сознательному овладению знаниями и продвижению детей в развитии.

Чтобы ученики представили себе такое понятие, как бесконечность прямой, мы предлагаем сначала использовать такую практическую работу: как можно более длинные, толстые и яркие нитки наматывают примерно поровну на 2 катушки. Таких пар катушек нужно заготовить вдвое меньше, чем учеников в классе. Дети выходят в коридор или на пришкольный участок, делятся на пары. Учитель дает каждой паре один из заготовленных комплектов, каждый ученик берет одну катушку, и пары становятся лицом друг к другу, туго натягивая разделяющую их часть нитки. По команде учителя пары начинают медленно расходиться в противоположные стороны, разматывая натянутую нитку.

Если у кого-то из детей кончается нитка, но есть место для продолжения движения, можно привязать дополнительный кусок нитки, но можно этого и не делать.

После завершения практической работы необходимо обсудить с детьми причины, по которым им пришлось остановиться, и что можно было сделать, чтобы продолжить движение. Таких причин две:

– закончилась нитка, и в этом случае поможет увеличение длины нитки;

– нет возможности двигаться дальше, так как на пути возникло препятствие, и в этом случае нужно представить, что препятствие убрано с пути каким-либо способом.

В качестве следующего шага можно использовать такой прием: на доске чертится часть прямой. Учитель спрашивает, можно ли эту прямую продолжить, сделать длиннее. Возможно, дети сразу догадаются, что можно. Если такой ответ получен, нужно предложить рассказать, как это можно сделать (приложить линейку к части начерченной линии и начертить дальше). Учитель выполняет эту операцию и спрашивает, можно ли еще продолжить эту прямую. Постепенно прямая продолжается до краев доски. А дальше можно? Очевидно, дети скажут, что дальше чертить нельзя. На этом этапе устанавливается, что причина не в том, что прямая не может продолжаться, а в том, что кончилась доска. Дальше учитель предлагает детям представить, какой длины можно было бы начертить прямую, если ее чертить не на доске, а на стене, на полу класса, в коридоре, на земле во дворе и т.д. Так постепенно у учащихся формируется понимание возможности неограниченного продолжения прямой.

После знакомства с прямой рассматривают фигуры, которые являются ее частями: луч и отрезок. Прямую, луч и отрезок сравнивают между собой, устанавливают отличие луча от отрезка и от прямой. При знакомстве с отрезком основное внимание уделяется его ограниченности с двух сторон, а луча – с одной стороны.

Можно использовать такой вариант знакомства с отрезком: на доске изображаются две точки. Затем формулируется задание: соединить точки линией. Учитель не должен торопиться с разъяснениями – нужно предоставить ученикам время для самостоятельного выполнения задания. Только после этого несколько учеников показывают на доске свои решения, используя одну и ту же пару точек. На доске получается чертеж, на котором две точки соединены несколькими разными линиями. Очень важно так подобрать решения детей, чтобы были выявлены все допущенные ошибки (например, вместо того чтобы соединить точки линией, ученик проводит линию через две точки, то есть концы линии не находятся в данных точках) и были представлены все принципиально разные варианты решений. Если среди них будет отрезок, учителю останется только сконцентрировать внимание учеников на этом решении, выделив его среди других, что нетрудно сделать, так как все остальные решения, очевидно, будут кривыми линиями. Кроме того, дети легко заметят, что эта линия является самой короткой. Если среди предложенных детьми решений отрезка не окажется, учитель предлагает выполнить задание.

Дальнейшее продвижение в знакомстве с геометрическим материалом тесно связано с взаимным расположением различных линий, особенно прямых, лучей и отрезков, что приводит к знакомству с различными новыми геометрическими фигурами (углами, ломаными линиями, многоугольниками и т.д.).

Весь остальной геометрический материал изучается аналогично, начиная с основополагающего понятия и постепенно расширяя и углубляя тему. Такое построение материала является второй особенностью изучения элементов геометрии, хотя относится не только к нему.

№ 20 СМЫСЛ ДЕЙСТВИЯ УМНОЖЕНИЯ

Действие умножения рассматривается как суммирование одинаковых слагаемых.

С теоретико-множественной точки зрения умножению соответствуют такие предметные действия с совокупностями (множествами, группами предметов) как объединение равных (равночисленных) со­вокупностей. Поэтому, прежде, чем знакомиться с символикой записи действий и вычислениями результатов действий, ребенок должен научиться моделировать на предметных совокупностях все эти ситуации, понимать (т. е. правильно представлять) их со слов учителя, уметь показывать руками как процесс, так и результат предметного действия, а затем характеризовать их словесно.

Виды заданий, предлагаемые до знакомства с символикой действия умножения(в 1 и 2 классе):

1. Посчитай двойками (тройками, пятерками).

2. Нарисуй рисунок: «На трех тарелках по 2 апельсина». Сосчитай, сколько всего апельсинов.

3. Найди лишнюю запись: 2 + 2

2 + 2 + 2

2 + 2 + 2 + 2

2 + 3 + 2 + 2 + 2

Найди значение каждого выражения наиболее удобным способом.

4. Сделай запись выражения по рисунку:

Виды заданий, используемые для усвоения смысла умножения при знакомстве с этим действием:

а) На соотнесение рисунка и математической записи:.:Рассмотри рисунок и объясни записи:

б) На нахождение суммы одинаковых слагаемых:Рассмотри рисунки и закончи записи:

в) На замену сложения умножением: Замени, где возможно сложение умножением и вычисли ре­зультаты: 5+5+5+5 1+1+1+1+1 5+6+3

42 + 42 0 + 0 + 0 + 0 + 0 4 + 6 + 8

г) На понимание смысла определения действия умножения:

Рассмотри записи и объясни, какое число берется слагаемым и сколько раз берется слагаемым это число: 6 • 4 = 24 9 • 3 = ...

6 + 6 + 6 + 6 = 24 9 + 9 + 9 = ...

Выражение вида 3 • 5 называют произведением. Числа 3 и 5 в этой записи называют множителями.

Запись вида 3 • 5 = 15 называют равенством. Число 15 называют значением выражения. Поскольку число 15 в данном случае получено в результате умножения, его также часто называют произведением.

Поскольку названия компонентов действия умножения вводятся по соглашению (детям сообщаются эти названия и их необходимо запомнить), педагог активно использует задания на распознавание компонентов действий и употребления их названий в речи.

Например:

1. Среди данных выражений найдите такие, в которых пер­вый множитель равен 3 (второй множитель равен 2 и т. д.):

2• 2 7• 3 6• 2 1• 6 3• 5 3• 2 7• 3 3• 4 3• 1

2. Составьте произведение, в котором второй множитель равен 5. Найдите его значение.

3. Выберите примеры, в которых произведение равно 6. Подчеркните их красным цветом. Выберите примеры, в кото­рых произведение равно 12. Подчеркните их синим цветом.

7 • 3 6 • 1 2 • 2 2 • 3 6 • 2 3 • 2 2 • 6

4. Как называют число 4 в выражении 5 • 4? Как называют число 5? Найдите произведение. Составьте пример, в котором произведение равно тому же числу, а множители другие.

5. Множители 8 и 2. Найдите произведение.

В 3-м классе дети знакомятся с правилом взаимосвязи компонентов умножения, которое является основой для обучения нахождению неизвестных компонентов умножения при решении уравнений: