Множество действительных чисел несчетные.
|
|
В этом множестве любое число записывается десятичной дробью, в которой после нуля следует любая бесконечная последовательность цифр от 0 до 9, за исключение последовательностей, начиная с нечетного элемента (0,99999…9=1)
|
0,000…0… | |
0,010…0… | |
0,1111…0… | |
0,12345… | |
0,121241…. | |
… | … |
0,12267 – данная последовательность не совпадает ни с одной из последовательностей, вписанных в столбец, поскольку в i-ой последовательности она отличается в i-ом знаке и поэтому не будет пронумерована.
И значит, множество действительных чисел неравномощно счетному множеству.
Вопрос 27. Функция, последовательность, их пределы (примеры бесконечно малых и больших последовательностей).
|
|
Функция переводящая в натуральный ряд в множество У называется последовательностью.
|
|
|
|
ее можно задавать двумя способами: словесно и с помощью
графика.
Предел функции:
Пример: – гипербол
|
|
|
|
|
|
тогда и только тогда, когда:
для
Предел последовательности:пределом последовательности называется число А и символ , тогда и только тогда, когда:
1) предел тогда и только тогда, когда для , ,что из ;
2) предел ,
|
Последовательность называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая
Функция называется бесконечно малой в окрестности точки , если
Последовательность называется бесконечно большой, если
Функция называется бесконечно большой в окрестности точки , если
Вопрос 28. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности, теорема о пределе промежуточной функции.
Предел монотонной ограниченной последовательности:
Если не убывающая последовательность ограниченная сверху, то она имеет предел который совпадает сее супремомом(sup):
Доказательство: рассмотрим любое сколь угодно малое Е>0,если то получим противоречие, поскольку найдется значение меньше наименьшей верхней грани последовательности следовательно, существует такое для которого
Но тогда поскольку последовательность не убывающая и для всех верно
Аналогично, можно доказать что любая невозрастающая ограниченная снизу последовательность имеет предел ее инфиниму.
Теорема о пределе промежуточной функции:
Если для и
Доказательство: вычтем из двойного неравенства В: , это означает что
. Следовательно для любого Е, - для некоторого и - для некоторого , то , для min( .
Теорема для промежуточной функции также справедлива, когда А, символ и также в случае –последовательности.
Воспрос 29. Свойства пределов: сумма, произведение, частное пределов.
Сумма:
Пусть Тогда
Доказательство:
Из леммы следует (функция f(x) имеет в точке предел, равный А тогда и только тогда, когда да и только тогда, когда , где ):
–бесконечно малые в точке
-есть сумма постоянных значений и бесконечно малых, следовательно, по лемме это утверждение верно.
Произведение:
Найдем предел произведения
|
Следовательно, - по лемме.
Частное:
Найдем предел частного где
Докажем, что , где бесконечно малая величина в точке
Найдем
Это величина является бесконечно малой, поскольку числитель – бесконечно малая величина, а знаменатель – ограниченная функция, Следовательно,
Воспрос 30. Первый замечательный предел.
Доказательство:
|
|
|
|
|
|
|
|
(площадь сегмента)
|
Значит (следовательно, ) – умножим на 2 и разделим на sinx:
заметим, что при поэтому по теореме о промежуточной функции (Если для и , то ).
Воспрос 31. Второй замечательный предел.
, где (для последовательностей)
–Бином Ньютона.
Используя Бином Ньютонапреобразуем
Докажем, что последовательность ограничена сверху. Для этого заметим, что в каждом из слагаемых, начиная с третьего выполняется:
Следовательно, вся сумма и следовательно, последовательность
Докажем, что последовательность возрастает. Для этого заметим, что с увеличением nрастет количество слагаемых в сумме и каждое слагаемое увеличивается. По этой причине последовательность возрастает.
По доказанной теореме об ограниченной возрастающей последовательности у последовательности
есть предел. И этот предел называют числом e.
Вопрос 32.Неопределенности.Сравнение бесконечно малых. Таблица эквивалентности.
Неопределенности могут быть :
1) Т.е. рассматриваемая функция является отношением двух функций, причем в точке x0 и числитель, и знаменатель равны 0.
2) Т.е. рассматриваемая функция является отношением двух функций, причем в точке x0 и числитель, и знаменатель равны ¥.
3) Т.е. рассматриваемая функция является разностью двух функций, и в точке x0 обе эти функции становятся бесконечно большими.
4) 5) 6)
!!!НУЖНЫ ПРИМЕРЫ!!!