Определение и свойства суммы и произведения действительных чисел. Поле действительных чисел и его свойства

Определение: Пусть . Суммой чисел и называется действительное число

Теорема: Множество является аддитивной абелевой упорядоченной архимедовой группой. Сложение на согласуется со сложением на .

Доказательство:

· Сложение -б.а.о.По определению .

Поэтому множество ограничено сверху и поэтому

· коммутативность

– рациональные числа(конечные десятичные дроби), а сложение рац. чисел коммутативно.

· сложение на и согласуется.Обозначим сложение на как , на как +.

1.

2.

3.

Доказательство ОП.

· ассоциативность.

аналогично доказывается

Согласно следствию теоремы о плотности

· существование нуля. 0 является нейтральным элементом относительно сложения.

· противоположный элемент. Каждый элемент имеет противоположный

· упорядоченная группа.

· Архимедовость

По свойству архимедовости для рациональных чисел

⊠

Определение: Упорядоченная аддитивная абелева группа, для которой выполняется свойство Архимеда, называется архимедовой.

Поле действительных чисел.

Определение:Модулем действительного числа называется

Определение: Пусть действителные числа, их произведением называется действительное число, которое определяется следующим образом:

Теорема: Множество является кольцом. Умножение на согласуется с умножением на .

Доказательство:

1. для сложения всё уже доказано

2. Умножение – б. а. о.

множество ограничено сверху этого множества.

и единственным образом определено умножение неотрицательных действ-ых чисел.

Следовательно, определено умножение действительных чисел.

3. ассоциативность: доказательство достаточно провести для неотрицательных чисел, потому что для других чисел это следует из этого случая:

<

Аналогично:

согласно следствию теоремы о плотности множества D в множестве

4. дистрибутивность – это равенство очевидно, если одно из чисел равно , или .

Достаточно доказать дистрибутивность для Доказательство аналогично доказательству для ассоциативности. ⊠

Теорема: поле.

Доказательство: достаточно доказать, что если

Будем считать, что Тогда что

последовательность ограниченасверху ⊠

Теорема: Множество действительных чисел содержит множество рациональных чисел. Отношение «=», отношение порядка, операции умножения и сложения на множестве согласуются с соответствующими операциями на множестве

Доказательство: Множество содержит множество , поэтому мн-во содержит мн-во чисел вида ⊠

Определение, свойства и алгебраические операции с комплексными числами. Действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах. Вложение поля действительных чисел в поле комплексных чисел

Определение: Системой комплексных чисел называется множество с операциями сложение и умножение:

; .

Теорема: Система комплексных чисел является полем.

Доказательство:

1. Сложение коммут-но, ассоц-но, нулевой элемент ; противоположный .

2. Умножение коммутативно, ассоциативно, единица ;

3. дистрибутивность ⊠

Обозначим – называется комплексной единицей. . . Поэтому .

Определение: Комплексное число записанное в виде называется алгебраической формой комплексного числа.

Утверждение: Сложение и умножение комплексных чисел в алгебраической форме:

;

;

Доказательство:

.

Аналогично для умножения. ⊠

Замечание: Рассмотрим пару . Поставим в соответствие числа на декартовой плоскости с координатами .

Длина вектора

эта форма записи комплексного числа называется тригонометрической.

Утверждение:Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме:

; ,

.

Утверждение: Если , , то .

Определение: Корнем -ой степени из компл. числа назыв. такое число , что .

Обозначение: .

Теорема: Пусть - комплексное число, тогда ровно значений корня -ой степени из и они находятся по формуле:

- арифметическое значение корня.

Следствие: Корни степени из находятся в вершинах правильного -ка.

Следствие: Мн-во всех корней степени из 1 является мультипликативной группой.

Доказательство:

·

бинарная алгебраическая операция

·

· ⊠