Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел

Чтобы множество Q₊ положительных рациональных чисел являлось расширением множества N натуральных чисел, необходимо выполнение ряда условий.

Первое условие - это существование между N и Q₊ отношения включения. Докажем, что N Q₊.

Пусть длина отрезка х при единичном отрезке е выражается натуральным числом m. Разобьем единичный отрезок на n равных частей. Тогда n-ая часть единичного отрезка будет укладываться в отрезке х точно m·n раз, т.е. длина

отрезка х будет выражена дробью . Значит, длина отрезка х выражается и натуральным числом m, и положительным рациональным числом . Но это должно n быть одно и то же число. Поэтому целесообразно считать, что

дроби вида являются записями натурального числа m.

Следовательно, N Q₊.

Так, например, натуральное число 6 можно представить в виде следующих дробей: и т.д.

Отношение между множествами N и Q₊ представлено на рисунке 2.

Рис.2

Числа, которые дополняют множество натуральных чисел до множества

положительных рациональных, называются дробными.

Второе условие, которое должно быть выполнено при расширении множества натуральных чисел - это согласованность операций, т.е. результаты арифметических действий, произведенных по правилам, существующим для натуральных чисел, должны совпадать с результатами действий над ними, но выполненных по правилам, сформулированным для положительных рациональных чисел. Нетрудно убедиться в том, что и это условие выполняется.

Пусть а и b - натуральные числа, а + b - их сумма, полученная по правилам сложения в N. Вычислим сумму чисел а и b по правилу сложения в Q₊. Так как а = , b = , то а+b = + = а+b.

Убедиться в том, что второе условие выполняется и для других операций, можно аналогично.

Третье условие, которое должно быть выполнено при расширении множества натуральных чисел - это выполнимость в Q₊ операции, не всегда осуществимой в N. И это условие соблюдено: деление, которое не всегда выполняется в множестве N, в множестве Q₊ выполняется всегда.

Сделаем еще несколько дополнений, раскрывающих взаимосвязи между натуральными и положительными рациональными числами.

1. Черту в записи дроби можно рассматривать как знак деления.

Действительно, возьмем два натуральных числа m и n и найдем их частное по правилу (4) деления положительных рациональных чисел:

m: n= : = = .

Обратно, если дана дробь , то ее можно рассматривать как частное натуральных чисел m и n: = = =m: n.

2. Любую неправильную дробь можно представить либо в виде натурального числа, либо в виде смешанной дроби.

Пусть -неправильная дробь. Тогда m > n. Если m кратно n, то в этом случае дробь является записью натурального числа. Если число m не кратно n, то разделим m на n с остатком: m=nq + r, где r < n. Подставим nq + r вместо m в запись и применим правило (1) сложения положительных n рациональных чисел: = = + =q+ .

Так как r < n, то дробь правильная. Следовательно, неправильная дробь оказалась представленной в виде суммы натурального числа q и правильной дроби . Это действие называется выделением целой части из неправильной дроби.

Например, = = + +3+

Сумму натурального числа и правильной дроби принято записывать без знака сложения: т.е. вместо 3 + пишут 3 и называют такую запись смешанной дробью.

Справедливо также утверждение: всякую смешанную дробь можно записать в виде неправильной дроби. Например: 3 =3+ = + =3+