Множество действительных чисел

Лекция 1

Множества.

Множество действительных чисел.

Виды числовых множеств.

Окрестность точки.

Математический анализ функций одной переменной.

Множества.

В математике все понятия делятся на первичные (основные неопределяемые понятия) и определяемые через первичные или уже известные. Первичными понятиями являются точка, прямая, плоскость и множество. Для всех остальных понятий будут даны определения.

Под множеством понимают совокупность некоторых элементов.

Определение 1: Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами или точками. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества обозначают большими буквами латинского алфавита, а их элементы — малыми буквами.

Если х — элемент множества X, то пишут хÎХ.

Если х не является элементом множества X, то пишут хÏХ.

Запись Х={х₁, ..., х_n} означает, что множество X состоит из элементов х₁, ..., х_n. Аналогична запись Х={х₁, х₂, х₃, ...}.

Например:

· запись А={0; 1; 25} – означает, что множество А состоит из трёх чисел 0; 1 и 25;

· запись А={х: 1<x<25} – означает, что множество А состоит из всех действительных (если не оговорено) чисел, удовлетворяющих двойному неравенству 1<x<25;

· запись А={хÎN| 1<x<25} – означает, что множество А состоит из всех натуральных чисел, удовлетворяющих двойному неравенству 1<x<25.

Множество может задаваться:

· путём перечисления его элементов, обычно перечислением задают конечные множества или списком;

· заданием выражением с указанием значений, принимаемых входящими в это выражение переменными;

· путём описания свойств, общих для всех элементов этого множества, и только этого множества. Это свойство называется характеристическим свойством, а такой способ задания множества описанием. Таким образом, можно задавать как конечные, так и бесконечные множества.

Пусть X и Y—два множества.

Определение 2: Множество X содержится в Y (или X есть подмножество множества Y), если в X нет элементов, не принадлежащих Y (ХÌY или YÉX (X содержится в Y или Y содержит X).

· знак Ì - строгое включение;

· знак Í - нестрогое включение;

Если не оговорено, есть ли во множестве Y, ещё какие-либо элементы, кроме всех элементов множества X, то употребима запись XÍY; в противном случае, когда оговорено, что во множестве Y есть ещё другие элементы, кроме всех элементов множества X, употребима запись XÌY.

Определение 3: Множества X и Y совпадают, если они состоят из одних и тех же элементов (Х=Y). Другими словами: Множества X и Y равны (совпадают), если ХÌY и YÌX.

Определение 4: Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Æ.

Пустое множество является подмножеством любого множества: ÆÌХ.

При работе в конкретной предметной области обычно ограничиваются некоторой совокупностью объектов.

Определение 5: Зафиксированное каким-либо образом множество объектов, допустимых при данном рассмотрении, называют основным, базовым (универсальным, универсумом) множеством и обозначается U. Или другими словами: все в дальнейшем рассматриваемые (в некотором контексте) множества являются его подмножествами. Данное понятие относительное.

Определение 6: Множество с установленным порядком расположения элементов называют упорядоченным.

Упорядоченное множество в отличие от просто множества записывают внутри круглых скобок.

Множества бывают конечными или бесконечными.

Определение 7: Если число элементов множества конечно — множество называется конечным.

Определение 7: Количество элементов, составляющих множество, называется мощностью множества (численностью, размером, нормой, длиной и др.) и обозначается |А|.

Определение 8: Если между элементами бесконечного множества можно установить взаимнооднозначное соответствие с элементами множества натуральных чисел, то говорят, что множество счётно.

Операции над множествами.

Для визуализации отношений между множествами и операций над множествами обычно используются диаграммы Эйлера-Венна, на которых представлены результаты операций над множествами точек как над геометрическими фигурами на плоскости. Универсальное множество обычно обозначают графически в виде множества точек прямоугольника, а отдельные множества в виде отдельных областей (кругов или овалов) внутри этого прямоугольника.

Определение 1: Объединением (или суммой) двух множеств А и В называется новое множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств, то есть или А, или В:

По аналогии с алгеброй чисел объединение иногда называют суммой множеств, так как операция объединения множеств обладает многими свойствами операции сложения чисел.

Определение 2: Пересечением (или произведением) двух множеств А и В называется новое множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит обоим этим множествам, то есть и А, и В:

По аналогии с алгеброй чисел пересечение иногда называют произведением множеств, так как операция пересечения множеств обладает многими свойствами операции умножения чисел.

Определение 3: Разностью двух множеств А и В называется новое множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А, но не принадлежит множеству В:

Множество А\В называется также дополнением множества В относительно множества А.

Определение 4: Если U – универсальное множество и АÌU, то разность U\A называется дополнением множества А до множества U, или просто дополнением множества А и обозначается Ā:

Определение 5: Симметрической разностью двух множеств А и В называется новое множество, обозначаемое АDВ и состоящее из тех и только из тех элементов, которые принадлежат А\В или В\А:

Пример:

Выписать все подмножества трёхэлементного множества М={а, b, c}.

М

{а, b, c}

{а, b} {а, c} {b, c}

{а } {b} { c}

Æ

Определение 6: Алгебра множеств — это непустая система подмножеств (некоторого множества U), замкнутая относительно операций объединения, пересечения, дополнения и симметрической разности.

Например, алгебра натуральных чисел незамкнута относительно вычитания.

В теории алгебры множеств множестваÆ и U играют такую же роль, что и числа 0 и 1 в теории алгебры чисел.

Основные свойства алгебры множеств:

	Объединение È	Пересечение Ç	Разность \	Симметрическая разность D
Коммутативность	АÈВ=ВÈА	АÇВ=ВÇА	¾	АDВ=ВDА
Ассоциативность	(АÈВ)ÈС=АÈ(ВÈС)	(АÇВ)ÇС=АÇ(ВÇС)	¾	(АDВ)DС=АD(ВDС)
Дистрибутивность	(АÇВ)ÈС=(АÇС)È(ВÇС)	(АÈВ)ÇС=(АÈС)Ç(ВÈС)	¾	¾
Дистрибутивность	(А\В)ÈС=(А\С)È(В\С)	(А\В)ÇС=(А\С)Ç(В\С)	¾	¾
	АÈА=	АÇА=	А\А=	АDА=Æ
	АÈĀ=	АÇĀ=	А\Ā=	АDĀ=
	ĀÈА=	ĀÇА=	Ā\А=	ĀDА=
	АÈÆ=	АÇÆ=	А\Æ=	АDÆ=А
	ÆÈА=	ÆÇА=	Æ\А=	ÆDА=А
	АÈU=	АÇU=	А\U=	АDU=
	UÈА=	UÇА=	U\А=	UDА=
	UÈÆ=	UÇÆ=	U\Æ=	UDÆ=
	ÆÈU=	ÆÇU=	Æ\U=	ÆDU=
Законы де Моргана			¾	¾
				¾

Множество действительных чисел.

Рассмотрим аксиоматический метод введения вещественного (действительного) числа.

Множество вещественных чисел разбивается на два множества — Q рациональных и`Q (I) иррациональных чисел.

Определение 1: Рациональным называется число, которое можно представить в виде p/q, где р и q — целые числа, причем q¹0.

Определение 2: Иррациональным называется всякое вещественное число, которое не является рациональным.

Всякое рациональное число p/q является либо целым, либо его можно представить в виде конечной или периодической бесконечной десятичной дроби.

Всякое иррациональное число представляется непериодической бесконечной десятичной дробью.