Ограниченные и неограниченные числовые последовательности

Числовая последовательность {a_n} называется ограниченной сверху, если все ее члены меньше некоторого числа А:

a_n< А (п = 1, 2, 3, ...).

Примером такой последовательности может служить последовательность

¹/₂ , ²/₃ , ³/₄ , ... , ⁿ/_n+1 , ... ,

все члены которой меньше 1:

a_n< 1.

Здесь в роли А выступает число 1. Вместо него можно было бы выбрать 2, 3, ⁵/₂ и т. д., поскольку любое число рассматриваемой последовательности меньше каждого из этих чисел. Важно не то, какое число выбрано в качестве А, а то, что хотя бы одно такое число существует.

Важным примером последовательности, ограниченной сверху, служит последовательность

p₄, p₈, p₁₆, p₃₂, ... (1)

периметров правильных 4-, 8-, 16-угольников и т. д., вписанных в одну и ту же окружность. Для доказательства ограниченности этой последовательности мы поступим следующим образом. Наряду с данной последовательностью рассмотрим последовательность

Р₄ , Р₈ , Р₁₆ , Р₃₂ ,... (2)

периметров правильных 4-, 8-, 16-угольников и т. д., описанных около той же самой окружности. Очевидно, что сторона АВ правильного 2n-угольника, вписанного в окружность, меньше стороны А'В' правильного 2n-угольника, описанного около этой окружности (рис. 200).

Поэтому

p₂n< Р₂n (3)

Как было отмечено в предыдущем параграфе, последовательность (2) является монотонно убывающей. Поэтому каждый член этой последовательности, начиная со второго, меньше первого члена Р₄. Следовательно, для любого п> 2

P₂n< Р₄ (4)

Из (3) и (4) вытекает, что

p₂n < Р₄

Но Р₄ = 8r, где r — радиус окружности. Итак, для всех п>2

p₂n < 8r.

Это неравенство и говорит о том, что последовательность (1) ограничена сверху. Роль А в данном случае играет число 8r.

Если члены ограниченной сверху числовой последовательности изобразить точками числовой прямой, эти все точки расположатся левее точки с абсциссой А (рис. 201).

Числовая последовательность {a_n} называется ограниченной снизу, если все ее члены больше некоторого числа В:

a_n> В (п = 1, 2, 3, ...).

Примером такой последовательности может служить натуральный ряд чисел

1, 2, 3, 4, 5.....

Он ограничен снизу, так как все его члены больше нуля (В = 0). В качестве В можно было бы указать и любое отрицательное число или ¹/₂, ¹/₃ и т.д. Как и в случав последовательности, ограниченной сверху, здесь важно не то, какое число выбрать в качестве В, а то, что хотя бы одно такое число существует.

Важным примером последовательности, ограниченной снизу, является последовательность

Р₄ , Р₈ , Р₁₆ ,...

периметров правильных 4-, 8-, 16-угольников и т. д., описанных около окружности. В этом легко убедиться с помощью рассуждений, аналогичных тем, которые мы проводили выше при исследовании последовательности

p₄, p₈, p₁₆, ...

Если члены ограниченной снизу числовой последовательности изобразить точками числовой прямой, то все точки расположатся правее точки с абсциссой В (рис. 202).

Числовая последовательность, ограниченная одновременно и снизу и сверху, называется ограниченной.

Другими словами, числовая последовательность a₁, a₂, ..., a_n,... называется ограниченной, если существуют числа А и В такие, что при любом п

А <a_n< В (п = 1, 2, 3, ...).

Очевидно, что все точки числовой оси, соответствующие членам такой числовой последовательности, заключены в отрезке, концы которого имеют абсциссы А и В (рис. 203).

Примеры.

1) sin 1, sin 2, sin 3, ... , sin n.....

Для этой последовательности a_n = sinп. При любом п

—2 <sinn< 2.

Поэтому данная числовая последовательность ограничена.

2) 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; ... .

Члены этой последовательности представляют собой десятичные приближения числа √2. Очевидно, что 1 <a_n < 2, так что эта последовательность также ограничена.

3) Ограниченными будут, очевидно, и рассмотренные выше последовательности:

p₄, p₈, p₁₆, p₃₂, ...

Р₄, Р₈ , Р₁₆ , Р₃₂ ,...

составленные из периметров правильных 2n-угольников, вписанных и описанных около некоторой окружности.

22 вопрос

Бесконечно малая величина

Последовательность называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки , если .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то , .

Свойства бесконечно малых

• Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.
• Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
• Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
• Если — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то — бесконечно большая последовательность.

23 вопрос

Определение

Число называется пределом числовой последовательности , если последовательность является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

В случае, если у числовой последовательности существует предел в виде вещественного числа , её называют сходящейся к этому числу. В противном случае, последовательность называют расходящейся. Если к тому же она неограниченна, то её предел полагают равным бесконечности.

Кроме того, если все элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.

Если же элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.

Частичный предел последовательности — это предел одной изеёподпоследовательностей.

Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек.

Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек.

Обозначения

Тот факт, что последовательность сходится к числу обозначается одним из следующих способов:

• ;

• .

Свойства

Существуют определённые особенности для предела последовательностей вещественных чисел.^[2]

Можно дать альтернативные определения предела последовательности. Например, называть пределом число, в любой окрестности которого содержится бесконечно много элементов последовательности, в то время, как вне таких окрестностей содержится лишь конечное число элементов. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств.

Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из доказываемых ниже свойств предела.

Свойства

Арифметические свойства

• Оператор взятия предела числовой последовательности является линейным, т. е. проявляет два свойства линейных отображений.
• Аддитивность. Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует.

• Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела.

• Предел произведения числовых последовательностей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них существует.

• Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой.

Свойства сохранения порядка

• Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, не превышают некоторого числа, то и предел этой последовательности также не превышает этого числа.

• Если некоторое число не превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то оно также не превышает и предела этой последовательности.

• Если некоторое число строго превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то предел этой последовательности не превышает этого числа.

• Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, строго превышают некоторое число, то это число не превышает предела этой последовательности.

• Если, начиная с некоторого номера, все элементы одной сходящейся последовательности не превышают соответствующих элементов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности не превышает предела второй.

• Для числовых последовательностей справедлива теорема о двух милиционерах (принцип двустороннего ограничения).

Другие свойства

• Сходящаяся числовая последовательность имеет только один предел.

• Замкнутость. Если все элементы сходящейся числовой последовательности лежат на некотором отрезке, то на этом же отрезке лежит и её предел.

• Предел последовательности из одного и того же числа равен этому числу.

• Замена или удаление конечного числа элементов в сходящейся числовой последовательности не влияет на её предел.

• У возрастающей ограниченной сверху последовательности есть предел. То же верно для убывающей ограниченной снизу последовательности.

• Имеет место теорема Штольца.

• Если у последовательности существует предел, то последовательность средних арифметических имеет тот же предел (следствие из теоремы Штольца).

• Если у последовательности чисел существует предел , и если задана функция , определенная для каждого и непрерывная в точке , то

24 вопрос