Ограниченные и неограниченные множества

В этом параграфе будем рассматривать только числовые множества и кратко будем называть их «множества».

Определение 5.1.Множество Х называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое число M (m), что ограниченные и неограниченные множества - student2.ru ( ограниченные и неограниченные множества - student2.ru ). Число M (m), называется верхней (нижней) границей множества Х.

Пример 5.1.Найти верхнюю и нижнюю границы множеств:

Определение 5.2.Множество Х называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу, т.е. существуют такие числа M и m , что ограниченные и неограниченные множества - student2.ru . В противном случае оно называется неограниченным.

Это определение равносильно следующему

Определение 5.3.Множество Х называется ограниченным, если существует такое число M >0, что ограниченные и неограниченные множества - student2.ru . Множество Х называется неограниченным, если для любого числа M >0 существует такое число ограниченные и неограниченные множества - student2.ru , что ограниченные и неограниченные множества - student2.ru .

Определение 5.4.Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) границ ограниченного сверху (снизу) множества Х называется верхней (нижней) гранью множества Х и обозначается sup X (inf X), читается supremum (infimum).

Свойства верхней и нижней граней множества

1о. Если a* = sup X, то

1) ограниченные и неограниченные множества - student2.ru выполняется неравенство ограниченные и неограниченные множества - student2.ru .

2) ограниченные и неограниченные множества - student2.ru такое, что выполняется неравенство ограниченные и неограниченные множества - student2.ru .

2о. Если ограниченные и неограниченные множества - student2.ru = inf X то

1) ограниченные и неограниченные множества - student2.ru выполняется неравенство ограниченные и неограниченные множества - student2.ru .

2) ограниченные и неограниченные множества - student2.ru такое, что выполняется неравенство ограниченные и неограниченные множества - student2.ru

Теорема 5.1.Всякое ограниченное сверху (снизу) множество имеет верхнюю (нижнюю) грань и при том только одну.

Дано.

Доказать.

Доказательство.

Замечание 5.1. Если множество Х неограниченно сверху (снизу), то будем считать sup X =+ ограниченные и неограниченные множества - student2.ru (inf X =– ограниченные и неограниченные множества - student2.ru ).

В заключение приведем

Аксиому Архимеда.Каким бы ни было действительное число k, всегда есть натуральное число n, которое больше k.

Из этой аксиомы следует, что множество натуральных чисел неограниченно.

Пример 5.2.Найти верхнюю и нижнюю грани множеств:

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ

ПЕРЕМЕННОЙ

П.1. Понятие функции

На практике мы часто встречаемся с зависимостями между разными величинами.

Изучение зависимости между объектами состоит в том, что между ними устанавливается соответствие.

Определение 6.1. Соответствие между множествами X и Y, при котором каждому элементу х множества Х соответствует один и только один элемент у множества Y, называется функцией, заданной на множестве X со значением в множестве Y.

Функция обозначается при помощи латинской (а иногда греческой) буквы, например, буквы f.

Элемент х Î Х называется аргументом или независимой переменной функции f. Множество всех таких элементов х Î Х называют областью определения функции f и обозначают D(f) (D(f) ограниченные и неограниченные множества - student2.ru ). А элемент y Î Y, соответствующий элементу х, называется значением функции f и обозначается f(х). Множество, состоящее из всех значений функции f, называют областью (множеством) значений функции f и обозначают Е(f)(Е(f)ограниченные и неограниченные множества - student2.ru ).

Заметим, что если у Î Е(f), то существует по крайней мере один такой х Î D(f), что f(х) = у.

Функцию f, заданную на множестве X со значениями в множестве Y, обозначают также следующим образом:

ограниченные и неограниченные множества - student2.ru

Определение 6.2. Две функции f и g называют равными (пишут f = g), если D(f) = D(g) и f(х) = g(х) для каждого х Î D(f).

Функции называются также отображениями. Если функция f задана на паре множеств Х и Y, т.е. f Ì Х ´ Y, то говорят, что f есть отображение из Х в Y.

Если X = D(f) и Е(f) Ì Y, то говорят, что f есть отображение множества Х в Y.

Если X = D(f) и Y = Е(f), то говорят, что f есть отображение множества Х на Y.

Определение 6.3. Функция f , область определения и область значений которойсостоят из некоторого множества действительных чисел, называется действительной функцией одной действительной переменной.

Ниже для краткости будем говорить «функция», подразумевая действительную функцию одной действительной переменной.

Функция считается заданной, если выполнены следующие два условия:

1) заданы два числовых множества Х и Y;

2) задан способ (правило), при помощи которого каждому числу х Î Х ставится в соответствие единственное число y Î Y.

Наши рекомендации