Декартова прямоугольная система координат. Базис.
Базисом на плоскости называется совокупность фиксированной точки и 2х неколлинеарных векторов, проведенных к ней.
Базисом в пространстве наз. совокупность фиксированной точки в пространстве и 3х некомпланарных векторов.
Любой вектор на плоскости может быть разложен по векторам базиса на плоскости. Любой вектор в пространстве может быть разложен по векторам базиса в пространстве.
ОС=OA+OB, OA=x*i, OB=j*y, OC=xi+yj. Числа х,у наз-ся координатами вектора ОС в данном базисе
Действия над векторами.
а=х1i+y1j+z1k; b=х2i+y2j+z2k
l*a=l(х1i+y1j+z1k)= l(х1)i+l (y1)j+l(z1)k
a±b=(x1±x2)i+(y1±y2)j+(z1±z2)k
ab=x1x2ii+y1x2ij+x2z1ki+x1y2ij+y1y2jj+ z1y2kj+x1z1ik+y1z2jk+z1z2kk=x1x2+y1y2+z1z2
ii=1; ij=0; и т.д.
скалярное произведение 2х векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.
аа=x2+y2+z2=|a|2 a{x,y,z}, aa=|a|*|a|, то a2=|a|2
ab=|a|*|b|*cosj
а)ав=0,<=>а^в, x1x2+y1y2+z1z2=0
б)а||в - коллинеарны, если , x1/x2=y1/y2=z1/z2
Скалярное произведение векторов и его свойства.
-(“skala”-шкала) 2х векторов а и в наз. число, равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними. (а,в)- скалярное произведение. а*в=|а|*|в|*cosj, j=p/2, cosp/2=0, a^b=>ab=0. Равенство “0” скаляргного произведения необходимое и достаточное условие их перпендикулярности (ортогональности).
Векторное произведение 2х векторов.
левая ----- правая
Тройка векторов а,в,с наз. правоориентированной (правой), если с конца 3го вектора с кратчайший поворот от 1го ко 2му вектору мы будем видеть против час. стрелки. Если кратчайший поворот от 1го ко 2му по час. стрелки - левая. Векторным произведением 2х векторов а и в наз. такой вектор с, который удовлетворяет условиям: 1. |c|=|a|*|b|*sinj. 2. c^a и c^b. 3. тройка а,в,с-правая.
Смешанное произведение векторов и его свойства.
Смешанным произведением векторов наз. векторно-скалярное произведение, являющееся числом: a*b*c=[a*b]*c=a*[b*c], где
a={ax,ay,az}
b={bx,by,bz}
c={cx,cy,cz}
Св-ва:
1. При перестановке 2х сомножителей:
a*b*c=-b*c*a
2. не меняется при перестановке циклических сомножителей:
a*b*c=c*a*b=b*c*a
3.а)(Геометрич. смысл) необходимым и достаточным условием компланарности 3х векторов явл. равенство a*b*c=0
б)если некомпланарные вектора a,b,c привести к 1 началу, то |a*b*c|=Vпараллепипеда, построенного на этих векторах
если a*b*c>0, то тройка a,b,c - правая
если a*b*c<0, то тройка a,b,c - левая
Уравнение линии и поверхности.
1. Уравнение сферы. Сфера- геометрическое место точек, равноудаленных от 1ой точки, называемой центром.
O(a,b,c)
|OM|=r, OM={x-a,y-b,z-c}
r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2- уравнение сферы. x2+y2+z2=r2- ур-е сферы с центром точке(0,0).
F(x,y,z)=0- ур-е поверхности - ур-ю, удовлетворяющему координатам x,y,z любой точки, лежащей на поверхности.
2. Уравнение окружности
|OM|=r, OM={x-a,y-b)
r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2- ур-е окружности
а=b=0, то x2+y2=r2
F(x,y)=0- ур-е линии на плоскости.
Плоскость в пространстве.
Ур-е в плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно заданному вектору.
N-вектор нормали
M0M{x-x0,y-y0,z-z0}
Для того, чтобы точка MÎP, необходимо и достаточно чтобы вектора N^M0M(т.е. N*M0M=0)
A(x-x0)+B(y-y0)+С(z-z0)=0 - ур-е плоскости, проходящей через данную точку ^вектору.
Общее уравнение плоскости.
Ax+By+Сz-Ax0-By0-Сz0=0
-Ax0-By0-Сz0=D, где D=Ax+By+Сz
Ax+By+Сz+D=0
Частный случай:
Если D=0, то Ax+By+Сz=0(проходит ч/з 0;0)
Если A=0, то By+Сz+D=0
Если B=0, то Ax +Сz+D=0
Если C=0, то Ax+By+D=0
Если A=B=0, то Сz+D=0
Если A=C=0, то By+D=0
Если A=D=0, то By+Сz=0
Если B=D=0, то Ay+Сz=0