Формул-ка и матем.модель трансп. задачи(ТЗ) по критерию ст-ти. Особ-ти модели как ЗЛП.

У mпоставщиков А1, А2, …, Аm имеется a1, a2, …,am единиц однородного груза, к-рый д.б. доставлен nпотребителям В1, В2, …, Вn в кол-вах b1, b2,…,bn. Известна стоимость(Cij) доставки ед-цы груза из пункта Ai в пункт Bj (j=от 1 до m). Необх-мо найти такой план транспорт-ки прод-ии при к-ром суммарные затраты минимальны. Обозначим ч/з xij объем перевозки груза из i-го пункта в j-ый (i=от 1 до m; j=от 1 доn). Тогда матрица X=(x_ij)_m*n и есть план транспортировки грузаУдельные трансп.издержки запис-ся в форме матрицы С=[cij]m *n и наз-ся она матрицей тарифов.

Экономико-матем.модель ТЗ должна отражать все условия и цель задачи в математич.форме. Переменные xij(i=от 1 до m;j=от 1 до n) должны удовлетворять ограничениям по запасам, потребностям и условиям неотрицательности: (1)

xij>=0 (i=от 1 до m; j=от 1 до n)(2)

Цель ТЗ – минимизировать общие затраты на реализацию плана перевозок, к-рые можно представить функцией

f=c1.1 x1.1+c1.2 x1.2+…+c1.nx1.n+…+cm.1 xm.1+cm.2 xm.2+…+ cm.nxm.n=(i=от 1 до m)Σ(j=от 1 до n)Σcijxij. (3)

Математически ТЗ ставится так. Даны система ограничений (1) при условии (2) и линейная функция (3). Требуется среди множ-ва решений системы (1) найти такое неотрицат.решение, при к-ром линейная функция (3) принимает min значение. План перевозок X=(x_ij)_m*n называется допустимым, если он удовлетворяет ограничениям (1) и (2). Допустимый план перевозок, доставляющий минимум целевой функции (3), наз-ся оптимальным.

Теорема: для того чтобы ТЗ имела допустимые планы, необходимо и достаточно выполнение равенства

(4)

Если равенство не выполняется, в задачу вводится фиктивный поставщик или потребитель. При >- фикт потр-ль, при < - фикт поставщик.

21. ТЗ с открытой и закрытой моделью. Преобразование открытой модели в закрытую модель.

Модель ТЗ наз-ют закрытой, если суммарный объем груза, имеющегося у поставщиков, равен суммарному спросу потребителей, т.е. выполняется равенство

(4) Если равенство не выполняется (< или >), то модель наз-ют открытой.

Для разрешимости ТЗ с открытой моделью необходимо преобразовать ее в закрытую. Так, при выполнении первого условия необходимо ввести фиктивный (n+1)-й пункт назначения Bn+1, т.е. в матрице задачи предусматривается дополнительный столбец. Спрос фиктивного потребителя

а все тарифы – одинаковыми, чаще всего равными нулю, т.е. Ci,n+1=0 (i=от 1 до m). Аналогично при выполнении 2 условия вводится фиктивный поставщик, запас груза у которого равен

А тарифы дополнительной строки распределительной таблицы равны нулю, т.е. Cm+1,j =0. (j=от 1 до n)

При преобразовании открытой задачи в закрытую целевая функция не меняется, так как все слагаемые, соответствующие дополнительным перевозкам, равны нулю.

Теорема о ранге матрицы системы ограничительных уравнений ТЗ и ее прикладное значение.

Теорема: Ранг матрицы А трансп.задачи на единицу меньше числа уравнений: r(A)=m+n-1.