Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства.

Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства.

Пусть m,n- целые положительные числа и M- непустое множество элементов любой природы. Матрицейразмеров m*n над М или m*n –матрицей над M называется прям.таблица,составленная из mnэлементов множества М и содержащаяm строк и n столбцов.

Пусть A=(аi,j)m*n и B=(bi,j)m*n две матрицы одинаковой размерности,сумма матриц A и B, называется матрица такой же размерности, у которой каждый элемент равен сумме элементов A и B.

Произведение матрицы A=(аi,j)m*n на число С( С? R),называется m*n – матрица такой же размерности, у которой каждый элемент равен произведению соотв. элемента матрицы A на число С.

1. A+B=B+A(коммунативность сложения)

2. (A+B)+C=A+(B+C)(ассоциативность)

3. A+0=A

4. A+(-A)=0

5. α(A+B)=αA+αB

6. (α+β)A=αA+βB

7. (αβ)A=α(βA)

8. 1*A=A

Умножение матриц, его свойства.

Пусть даны матрица A=(аi,j)m*nи B=(bi,j)n*r, у кот.число элементов в строке первой матрицы равно числу элементов в столбце второй матрицы.

Произведением матрицы А на матрицу В наз. матрица С (С=А*В=АВ) размерности m*r, у кот. каждый эл-т равен сумме произведений эл-ов соответствующих строки и столбца матриц А и В.

Свойства:

1)АВ≠ВА-умножение матриц некоммутатитвно;

2)(АВ)*С=А*(ВС)-умножение матриц ассоциативно;

3)А*(В+С)=АВ+АС

(В+С)*А=ВА+СА-умножение матриц дистрибутивно по отношению к сложению;

4)α(АВ)=(αА)В=А(αВ);

Системы ур-ний. Матричная запись системы ур-ний.Связь между решение матричногоур-ния и решением системы.

Системы линейных однородных уравнений

Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные в первой степени. Так, например, Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru есть линейное уравнение с одним неизвестным; Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru - линейное уравнение с двумя неизвестными.

Если в исходной системе все свободные члены равны нулю, то система называется однородный. Такая система всегда совместна, так как она имеет нулевое решение: Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru .

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение: Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru , и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Если система совместна и имеет единственное решение, то она называется определенной; если же решений бесконечно много, то система называется неопределенной. При работе с системой принципиальным является вопрос о ее совместности. Пусть доказано, что система совместна. Возможны следующие случаи:

а) если система совместна, то есть Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru и число неизвестных равно рангу матриц А и В Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru , то она имеет единственное решение;

б) если же система совместна, но Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru , то она имеет бесконечно много решений.

Теорема Кронекера-Капелли:Для совместности системы линейных уравнений необходимо и достаточно, что бы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы.

ФормулыКрамера.

Рассмотрим частный случай системы (4), когда число уравнений совпадает с числом неизвестных. Пусть для определенности Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru , то есть система имеет вид

Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru .

Определитель Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru называется основным определителем данной системы. Следующие три определителя называются вспомогательными:

Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru , Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru , Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru .

Теорема Крамера:Если определитель матрицы А Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru то система имеет единственное решение определяющееся формулами: Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru .

Доказательство:

АХ=B.не трудно показать что матрица Х= Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru является решением данного уравнения ( Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru существует т.к.определитель матрицы А Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru ).Действительно А( Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru )=В; ( Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru А)В=В; ЕВ=В; В=В.Верно.Покажем, что данное математическое уравнение имеет единственное решение.Пусть Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru решение данного уравнения, тогда Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru

АХ=В определяется формулой Х= Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru В. То есть Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru = Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru == Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru

Заметим что определитель матрицы А(1);

А(1)= Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru

А(2)= Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru

- - - - - - - - - - - -- - - - - - - -

А(3)= Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru

Алгебраические дополнения последних формулах составлены к матрицам отличных от А, но при их нахождении столбик свободных членов вычеркивается, поэтому они совпадают с соответств. алгебраич. дополнением матрицы А.Таким образом: Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru

Замечание: При доказательстве теоремы 5 мы получили попутно способ решения систем с помощью обратной матрицы, его удобно применять если обратная матрица, матрица систем известна.

Метод Гаусса

Метод Гаусса –решение СЛУ в последовательном исключении неизвестных .

Замечание1-при решениисист. Методом Гауса работают только со строками расширенной матрицы.

Существует общий метод решения системы из Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru уравнений с Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru неизвестными, который называется методом последовательного исключения неизвестных или методом Гаусса.Последовательное исключение неизвестных проще и короче проводить с помощью элементарных преобразований расширенной матрицы данной системы. К ним относятся:

а) перестановка местами каких-либо строк матрицы;

б) умножение или деление (сокращение) какой-либо строки матрицы на число, отличное от нуля;

в) умножение какой-либо строки матрицы на число Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru и прибавление к другой строке.

Очевидно, что элементарные преобразования не изменяют ранга расширенной матрицы, другими словами, не нарушают равносильности исходной системы. После ряда таких преобразований исходная матрица будет приведена к одному из следующих видов:

Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru или Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru .

В первом случае система имеет единственное решение, во втором – либо бесконечно много решений, если Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru , либо не имеет решений, если Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru .

Векторное пространство. Примеры.

Мн-во М наз. векторным (линейным) пространством, а его эл-ты векторами, если:

I.Задан закон (операция сложения) по кот. кажд. паре векторов Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru , Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru ?Mсопоставляется единственный вектор изМ,наз. их суммой и обозн. Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru + Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru ;

II.Задан закон (операция умножения на число) по кот. каждому вектору Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru ? Ми числу α ? Rставится в соответствие единственный вектор, наз. произведение вектора на число и обознач. Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru .

III.Для любых векторов Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru , Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru , ?Mи любых α, β ? М справедливы след. равенства:

1) Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru + Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru = Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru + Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru ;

2) ( Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru + Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru )+ Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru = Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru +( Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru + Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru );

3) Существует такой элемент Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru М, что Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru + Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru = Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru + Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru = Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru ;

4) Существует эл-т –х ? М ,что – Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru + Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru = Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru +(- Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru )= Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru ;

5) ( Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru + Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru ) Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru = Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru + Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru ;

6) Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru ( Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru + Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru )= Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru + Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru ;

7) (αβ) Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru =α(β Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru );

8) 1* Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru

Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru – наз. нулевым, а вектор – Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru – противоположным Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru

Пример1. Множество всех m*n матриц, по отношению к операциям сложения матриц и умножения матриц на число явл. векторным пространством.

Пример2.Множество всех векторов на плоскости (в пространстве) с обычными операциями сложения векторов и умножения вектора на число явл. векторным пространством.

Прямая на плоскости.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0 илиА(х-х0)+ В(у-у0)=0

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

Заметим, что ненулевой вектор параллельной прямой наз. направляющим.

Вектор, перпендикулярный прямой наз. нормальным вектором прямой.

Пусть М (х00) ? l, тогда Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru ǁ Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru => Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru (х-х0 ; у-у0) ǁ Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru (m;n) =>

Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru – каноническое уравнение прямой ;

Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru – уравнение прямой, проход.через 2 точки;

d Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru – расстояние от точки до прямой ;

у= kx+b– уравнение прямой по угловому коэффиценту ;

Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru – уравнение прямой в отрезках по осям ;

Взаимное расположение прямых на плоскости:

l1: A1x+B1y+C1=0

l2:A2x+B2y+C2=0

l1ǁ l2:A1:A2=B1:B2 ,k1=k2 , Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru ǁ Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru , l1 ┴ l2:

A1A2+B1B2=0, k1= - Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru ,

Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru ( Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru

Плоскость в пространстве.

1.Общее уравнение плоскости:Ax+By+Cz+D=0 ( Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru ).

Вектор перпендикулярный данной плоскостиназ.нормальным вектором этой плоскости. В частности, вектор Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru -нормальный вектор данной плоскости.

Частные случаи:а) если D=0, то Ax+By+Cz=0. Она проходит через начало координат;б)если А=0, то By+Cz+D=0, плоскость параллельна оси Ox;в)при В=0, то Ax+Cz+D=0параллельна Оy;г)при С=0, то п+By+D=0 параллельна оси Оz;е)если А=0, В=0 то Сz+D=0 параллельна плоскостиOxy, если А=0, С=0 то By+D=0 параллельна плоскостиOxz, если В=0 и С=0, то Ax+D=0 параллельна плоскостиОуz.

2.Уравнение плоскости, проход-ей через точку Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru перпенд-ую вектору n=(A,B,C) - Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru

3.Уравнение плоскости в нормальном виде: Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru ,где α,β,γ – углы между осямиOx,Oy,Oz и перпендикуляром, опущенным из начала координат на плоскость,р– длина этого перпендикуляра.

4.Уравнение плоскости в отрезках на оси: Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru , где a,b,c–величины отрезков,отсекаемых плоскостью на координатных осях.

5.Уравнение плоскости по трем точкам Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru : Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru (M(x,y,z) – произвольная точка плоскости)или в координатной форме :

Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru

Прямая в пространстве.

1)Каноническое уравнениепрямой, проходящей через точку Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru паралельно вектору Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru =(m;n;p):

Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru

2)Параметрические уравнения прямой:

Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru где t–переменный параметр.

3)две точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru

4)Общее уравнениепрямой:

Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru

Направляющий вектор прямой находится по формуле:

Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru , или Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru

Взаимное расположение двух прямых:

l2: Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru

l1: Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru

(.)M1(x1;y1;z1), (.)M2(x2;y2;z2)

Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru (m1;n1;p1) Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru (m2;n2;p2) <φ

Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru

Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru

Цилиндрические поверхности.

Поверхности второго порядка– это поверхности, уравнения которых в прямоугольной системе координат являются уравнениями второго порядка.

1)Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru - эллиптический цилиндр.

2) Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru - гиперболический цилиндр.

3) x2 = 2py – параболический цилиндр.

Производная

Пусть функция у=f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, если переменная х получит приращение ∆х, то переменная у получит приращение ∆у=∆у(х0)= ∆f(х0)=f(х0+∆х)-f(х0)

Опр.1 Производной функции у=f(x) в т. х0 называется Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru = Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru

Производная функции f(x) в т. х обознач. у’=у’(x)=f’(x)= df/dx=dy/dx

При каждом конкретном значении х производная (если она сущ.) представляет собой некоторое число, таким образом конечному знач. х ставится в соотв. f’(x). Полученая функция как бы произведена от f(x). Этим объясняется понятие производной.

Операция нахождения производной назыв. дифференцированием.

Пусть кривая l является гр. функц. у=f(x) и точка М0(х0;f(x0))принадл. L. Рассмотрим некоторую секущую М0М

Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru

Угловой коэффициент секущей tgɸ=∆y/∆x, если т. М движ. По кривой в т. М0, то сек. М0М стемится к некоторому предельному положению наз.касательной, угловой коэф. Которой К= Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru = Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru =y’(x0).

Таким образом геометрич. смысл произв. следующий: производная ф. в т. х0 ровна угл. Коэф. Косательной и гр. функции у=f(x) в т. х0: y-f(x0)=f’(x0)(x-x0)

Cмеханич. Точки зрения произв. ф. представляет собой мгновенную скорость процесса. Например произв. пути по времени- скорость, произвскороти- ускорение.

Опр 2: Функция y=f(x) назыв. дифференцируемой в т. х0, если она имеет в т х0 конечную произв.

Функция назыв. Дифференцируемой, если она дифф. В каждой точке интервала.

Т1: Если функция f(x) диффер в т. х0 то она в этой точке непрерывна.

Док-во: Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru = Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru = Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru * Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru =f’(x0)*0

Замечание: Утверждение обратное т1 не имеет места. Например у= Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru непрерывна в т. х=0, но не фифференцируема или ф. у= Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru непрерывна в т. х=0, но не дифф. В ней.

Дифференциал функции

Под дифференциалом функцииdy функцииy=f(x) понимается главная часть её приращения ∆у, пропорциональная приращению ∆х независимой х.

Дифференциалdx независимой переменной х равен её приращению dx=∆x.

Дифференциал любой дифференцируемой функцииy=f(x) равен произведению её производной на дифференциал независимой переменной dy=f’(x)dx

Из формулы dy=f’(x)dxвытекает представление производ. в виде частного двух дифференциаловf‘(x)=dy/dx

Если ∆х достаточно мало по модулю, то с точностью до бесконечно малых более высокого порядка малости, чем ∆х, имеет место приближённое равенство ∆у≈dy или

f(x+∆x)≈f(x)+f’(x)*∆x

Соотношение f(x+∆x)≈f(x)+f’(x)*∆xиспользуют в приближённых вычислениях.

Правило Лопиталя.

Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g¢(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.

Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru

Доказательство. Применив формулу Коши, получим:

Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru

где e - точка, находящаяся между а и х. Учитывая, что f(a) = g(a) = 0:

Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru

Пусть при х®а отношение Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru стремится к некоторому пределу. Т.к. точка e лежит между точками а и х, то при х®а получим e®а, а следовательно и отношение Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru стремится к тому же пределу. Таким образом, можно записать:

Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru .

Теорема доказана.

Неопределенности вида Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru , f(x)>0 вблизи точки а при х®а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).

Асимптоты

Асимптотой кривой называется прямая , к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении её от начала координат.

Различают вертикальные и наклонные асимптоты.

Прямая X=a является вертикальной асимптотой графики функции y=f(x) , если , по крайней мере , один из односторонних пределов в точке .x=a равен бесконечности т.е.

Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru или Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru

Прямаяy=k1x+b1 является наклонной асимптотой при x->+∞ если существуют оба предела

Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru и b1= Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru

Аналогично, если существуют пределы

K1= Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru и b1= Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru

То прямаяy=k2x+b2 является наклонной асимптотой приx->-∞

Если k=0 и существует Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru , то получаем горизонтальную асимптоту y=bкак частный случай наклонной.

Если вертикальных асимптот может быть любое число , то наклонных асимптот не может быть более 2-ух.

Частные производные.

Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение Dх к переменной х. Тогда величина Dxz = f( x + Dx, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.

Можно записать

. Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru

Тогда Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru называется частной производной функции z = f(x, y) по х.

Обозначение: Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru

Аналогично определяется частная производная функции по у.

Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru

Геометрическим смыслом частной производной (допустим Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства. - student2.ru ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N0(x0, y0, z0) к сечению поверхности плоскостью у = у0.

Опредетели n-ого порядка.

Определители n-го порядка.

4.Обратная матрица.Критерии её сущ-ния.
Обратная матрица.

5.Ранг матрицы.Элементарные преобразования матриц.Нахождения ранга с их помощью
Ранг матрицы.

Теорема Крамера.

Прямая на плоскости.

Плоскость в пространстве.

Прямая в пространстве.

Комплексные числа.

Производная

Дифференциал функции

Правило Лопиталя.

Асимптоты

Частные производные.

Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства.

Пусть m,n- целые положительные числа и M- непустое множество элементов любой природы. Матрицейразмеров m*n над М или m*n –матрицей над M называется прям.таблица,составленная из mnэлементов множества М и содержащаяm строк и n столбцов.

Пусть A=(аi,j)m*n и B=(bi,j)m*n две матрицы одинаковой размерности,сумма матриц A и B, называется матрица такой же размерности, у которой каждый элемент равен сумме элементов A и B.

Произведение матрицы A=(аi,j)m*n на число С( С? R),называется m*n – матрица такой же размерности, у которой каждый элемент равен произведению соотв. элемента матрицы A на число С.

1. A+B=B+A(коммунативность сложения)

2. (A+B)+C=A+(B+C)(ассоциативность)

3. A+0=A

4. A+(-A)=0

5. α(A+B)=αA+αB

6. (α+β)A=αA+βB

7. (αβ)A=α(βA)

8. 1*A=A

Наши рекомендации