Дифф-ие ф-ии комплексного переменного. Аналитические функции.

Производная функции комплексного переменного определяется, как и производная в действительной области:

Здесь
z0, z _ комплексные и f(z0) = f(z0+z) - f(z).

Используя это определение и свойства пределов, несложно убедиться в справедливости следующих правил дифференцирования.

1. Сумма и произведение дифференцируемых в точке функций, есть функция и справедливы равенства:

2. Частное дифференцируемых в точке функций, при условии, что знаменатель в точке не равен нулю, есть дифференцируемая в этой точке функция, :

3. Сложная функция f( (z)) дифференцируема в точке z0, если в этой точке дифференцируема функция  (z), а функция f(u) дифференцируема в точке u0,
где u0 =  (z0) и u =  (z). При этом в точке z0 имеет место формула:

Для элементарных функций комплексного переменного справедливы формулы дифференцирования, установленные для действительных значений аргумента.
Например, рассмотрим функцию f(z) = z3.
По определению производной для любой точки z, принадлежащей комплексной области, записываем:

Предел существует для любой точки z, принадлежащей комплексной области и
(z3)' =3z2.
Аналогично можно получить:
(zn)' = nzn-1 (n - действительное число).

ПРИМЕР 1. Вычисление значения производной функции коплексного переменного в точке.

Если f(z) = f(x+iy) = u(x, y) + iv(x, y), т.е. u(x, y) = Re f(z) и v(x, y) = Im f(z),
то справедливы следующие утверждения:

1. Если функция f(z) дифференцируема в точке, то в этой точке существуют частные производные ее действительной и мнимой частей
u(x, y) = Re f(z), v(x, y) = Im f(z)
и выполняется условие Коши-Римана:

2. Если u(x, y) и v(x, y) дифференцируемы в точке (x0, y0) (имеют непрерывные частные производные в этой точке) и выполняется условие Коши-Римана, то функция f(z) = f(x+iy) = u(x, y) + iv(x, y) дифференцируема в точке z0 = x0+ iy0.

3. Производная дифференцируемой функции может быть записана по одной из формул:

Условие Коши-Римана

Теорема (необходимые условия дифференцирования). Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда функции имеют частные производные в точке удовлетворяют следующим условиям:

.

Условия (*) называются условиями Коши-Римана.

Доказательство.

Пусть . Какую бы не выбрали траекторию отношение будет стремится к одному и тому же числу.

Выберем 2 траектории.

(действительная ось)
(мнимая ось)

.

.

Сравнивая вещественные и мнимые части первого и второго уравнения получаем условие Коши-Римана.

Пример.

Конформные отображения

Взаимно однозначное отображение области D на область D* (евклидова пространства или риманова многообразия) называется конформным (лат. conformis — подобный), если в окрестности любой точки D дифференциал этого преобразования есть композиция ортогонального преобразования и гомотетии.

Этот термин пришёл из комплексного анализа, изначально использовался только для конформных отображений областей плоскости.

Связанные определения

Если при конформном отображении сохраняется ориентация, то говорят о конформном отображении первого рода; если же она меняется на противоположную, то говорят о конформном отображении второго рода либо антиконформном отображении .

Две метрики на гладком многообразии M называются конформноэквивалентными если существует гладкая функция такая что . В этом случае тождественное отображение на M индуцирует конформное отображение .

Свойства

Конформное отображение сохраняет форму бесконечно малых фигур;

Конформное отображение сохраняет углы между кривыми в точках их пересечения (свойство сохранения углов).

Это свойство можно также взять за определение конформного отображения.

Теорема Лиувилля: Всякое конформное отображение области евклидова пространства при можно представить в виде конечного числа суперпозиций — изометрий и инверсий.

Кривизна Вейля сохраняется при конформном отображении, то есть если и g — конформноэквивалентные метрические тензоры, то

где и W обозначают тензоры Вейля для и g соответственно.

Для конформно-эквивалентых метрик

Связности связаны следующей формулой:

Кривизны связаны следующей формулой:


если g(X,X) = g(Y,Y) = 1,g(X,Y) = 0,Xψ = 0 а Hessψ обозначает Гессиан функции ψ.

Формулу для секционных кривизн можно записать в следующем виде:

где f = e − ψ.

При вычислении скалярной кривизны n-мерного риманова многообразия, удобнее записывать конформный фактор в виде . В этом случае: