IY. Интеграл от функции комплексного переменного

1. Определение.Предел последовательности этих сумм при IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru , если он существует, не зависит ни от способа разбиения кривой на дуги, ни от выбора точек tk, называется интегралом от функции w = f(z) по кривой L и обозначается

IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru .

Контурный интеграл – это комплексное число.

Правило вычисления контурного интеграла:

1. Выделяем в подинтегральной функции действительную и мнимую части, т. е. представляем в виде f(z) = u(x,y) + i v(x,y);

2. Запишем dz = dx + i dy;

3. Составляем произведение f(z) на dz

f(z)dz = (u + iv)(dx +idy) = (udx – vdy) +i(vdx+udy;

4. Вычисляем интеграл вдоль L

IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru

Замечания:

1. Если кривая L – есть окружность или часть ее IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru - уравнение этой окружности и функция f(z) непрерывна в каждой точке L, то переменная интегрирования z записывается в показательной форме:

z = R e; dz = Reidφ

2.Если x = x(t), y = y(t),где IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru - параметрические уравнения кривей L,

то z = x(t) + iy(t) называют комплексно – параметрическим уравнением

IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru

28).Найти: IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru где L – ломаная IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ;

29).Найти: IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru

30).Найти IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru где L – отрезок FB : IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru

31).Найти IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru , IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru от т. IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru до т. IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru +1

32).Найти:

IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru

2. Формула Ньютона –Лейбница

IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ,

где f(z) –аналитическаяфункция в области D, а z и z0 есть соответственно начальная и конечная точка пути интегрирования L.

Вычислить

33). IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru 34). IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru , 35). IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru , 36). IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru , 37). IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru .

Теорема Коши для односвязной области

Если функция w = f ( z) - аналитическая в односвязной области D и на ее границе L, то, интеграл от f ( z) по L равен нулю:

IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru .

Если функция w = f ( z) - аналитическая в многосвязной области D и на ее границе Г = L0 + L1 +…+ Ln , то справедливо равенство

IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru - где L0 – внешний контур; здесь все контуры обходятся в одном направлении .

Интегральная формула Коши

Пусть w = f(z) аналитична в области D и на ее границе L, тогда для каждой точки IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru имеет место формула

IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru . При этом функция IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru имеет всюду в IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru производные любого порядка, для которых справедливы формулы

IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru

Из этих формул можно выразить интегралы:

IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru - интеграл Коши

IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru

Следствие:

IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru

Вычислить следующие интегралы, пользуясь теоремой Коши, интегральной формулой Коши и формулами, полученными из интегральной формулы Коши дифференцированием.

Направление вдоль контура IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru в этих задачах – против часовой стрелки.

38). IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru , где IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru - окружность: а) IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ; б) IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru .

39). IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru , где IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru .

40). IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru , где IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru а) IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ; б) IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru .

41). IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru , где IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru а) IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ; б) IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru .

42). IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru , где IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru .

43). IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru , где IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru .

44). IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru , где IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru а) IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru : б) IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru .

45). IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru , где IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru а) IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ; б) IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru .

46). IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru , где IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru а) IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ; б) IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru .

Y. Особые точки. Вычеты.

Особые точки.

Точка IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru называется особой точкой функции IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru , если функция не аналитична в этой точке; и правильной, если в ней функция аналитична.

Особая точка функции IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru называется изолированной, если в окрестности этой точки функция IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru не имеет других особых точек

Если IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru - изолированная особая точка функции IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru , то в достаточно малом круге с выколотым центром IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru функция IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru будет аналитической и, следовательно, разлагается в ряд Лорана:

IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru .

Изолированные особые точки бывают трех типов:

1) устранимые; 2) полюсы; 3) существенно особые точки.

Тип особых точек определяется либо по количеству членов в главной части ряда Лорана, либо по поведению функции в окрестности особой точки (см. таблицу 1).

Вычеты

Определение: Вычетом функции IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru относительно точки IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru называется число, определяемое равенством:

IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru или IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ,

где IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru любой замкнутый контур, содержащий IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ; IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru аналитическая на IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru и в области, ограниченной IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru , за исключением точки IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ; IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru - первый коэффициент главной части ряда Лорана для функции IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru в окрестности точки IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru .

Формулы для вычетов относительно особых точек даны в таблице 1.

Таблица 1: Классификация особых точек и нахождение вычетов.

Особые точки Ряд Лорана с главной частью IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru Поведение IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru в точке IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru Формулы для нахождения вычетов IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru
1. Устранимая Нет главной части. IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru
2. Простой полюс   В главной части одно слагаемое: IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru   IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru 1) IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru 2) IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru
3. Полюс кратности В главной части IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru слагаемых: IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru . IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru
4. Существенно - особая   В главной части бесконечно много слагаемых Не вуществует IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ( неопределен - – ность) Разложить в ряд Лорана, IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru

Теоремы о вычетах.

Теорема 1. Если функция IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru аналитична в области IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru , за исключением изолированных особых точек IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru , лежащих в этой области, то для любого простого замкнутого контура IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru , охватывающего точки IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru , IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru .

Теорема 2.Если IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru аналитическая во всей комплексной плоскости, за исключением изолированных особых точек IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru и IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru , то

IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru .

47). Найти особые точки и указать их характер (для полюсов определить их порядок)

а) IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ; б) IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ; в) IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ;

г) IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ; д) IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ; е) IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ;

48). Найти вычеты функций в их особых точках.

а) IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ; б) IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ; в) IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ;

г) IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ; д) IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ; е) IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ;

49). Найти IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ; если а) IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ; б) IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ; в) IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ;

50). Найти IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru , где IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ;

51). Вычислить IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru , где IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru .

52). Найти IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru , где IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru .

53). Вычислить интеграл IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru , где IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru

54). Найти IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru , где IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ;

55). Найти IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru , где IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ;

56). Найти IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru , если а) IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ; б) IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ; в) IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru ;

57). Вычислить IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru , где IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru

58). Найти IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru , где IY. Интеграл от функции комплексного переменного - student2.ru

Вопросы по теме:

1.Комплексные числа. Действия с ними. Формы записи комплексных чисел.

2.Понятие области (определение, ограниченная область, граница области, многосвязные области)

3.Функция комплексного переменного (определение, область определения, область значения, предел и непрерывность)

4.Дифференцирование ФКП( понятие производной, понятие дифференциала, понятие аналитической функции, условие Эйлера – Даламбера)

5.Элементарные функции и их свойства*: степенная, показательная, логарифмическая тригонометрические, гиперболические, обобщенные степенная и показательная)

6.Интеграл от ФКП и его свойства. Вычисление контурного интеграла*

7.Теорема Коши для односвязной* и многосвязной области*

8.Независимость интеграла от формы пути интегрирования*

9.Понятие первообразной и неопределенного интеграла от ФКП. Формула Ньютона –Лейбница*

10.Интеграл Коши, интегральная формула Коши

11.Ряды Тейлора, Маклорена и Лорана.*

12.Нули аналитической функции*

13.Классификация особых точек (типы изолированных точек : устранимая, полюс, существенно- особая)*

14.Понятие вычета. Основная теорема о вычетах*

15.Вычет относительно полюса*

16.Применение вычетов (практика)

Знать все определения и основные понятия по теме. Уметь вычислять интегралы

Тема 6: Операционные исчисления

Литература:

1.Браславская Н. Б. «Операционные исчисления»

2. Пискунов «Дифференциальные и интегральные исчисления», т 2

Наши рекомендации