Показательная и тригонометрические функции комплексного переменного.
Показательная и тригонометрические функции комплексного переменного z определяются равенствами, верными для любого z:
Эти ряды сходятся во всей комплексной плоскости.
Между указанными функциями существуют следующие соотношения:
(1)
(2)
(3)
(4)
называемые формулами Эйлера.
Cпомощью формулы (1) комплексное число, заданное в тригонометрической форме может быть представлено в показательной форме
475.Представить в тригонометрической и показательной формах комплексное число
∆ Находим Следовательно, тригонометрическая форма данного числа имеет вид а показательная форма—вид ▲
476.Представить в показательной форме число
∆ Имеем т. е. ▲
477.Записать в алгебраической форме
∆ Воспользуемся формулой (1):
478.С помощью формулы Эйлера доказать, что
∆ Так как то
▲
479.Представить в показательной форме число
480.Представить в показательной форме число
481. Записать в алгебраической форме
482.Показать, что
483.Выразить линейно через и .
484.С помощью формулы Эйлера показать, что имеет бесчисленное множество значений, которые все являются действительными.
РЯД ФУРЬЕ
Рядом Фурье периодической функции f(х) с периодом 2π, определенной на сегменте называется ряд
(1)
где
,
,
Если ряд (1) сходится, то его сумма S (х) есть периодическая функция с периодом 2π, т. е.
Теорема Дирихле. Пусть функция f(х) на сегменте имеет конечное число экстремумов и является непрерывной ва исключением конечного числа точек разрыва I рода (т. е. удовлетворяет так называемым условиям Дирихле). Тогда ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке сегмента и сумма S (х) этого ряда:
1) S (x) = f(x) во всех точках непрерывности функции f(х), лежащих внутри сегмента
2) где x0—точка разрыва I рода функции f(х);
3) на концах промежутка, т.е. при
Если функция f(х) задана на сегменте , где l—произвольное число, то при выполнении на этом сегменте условий Дирихле указанная функция может быть представлена в виде суммы ряда Фурье
где
В случае, когда f(x) — четная функция, ее ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы, т. е.
где
В случае, когда f(х)-нечетная функция, ее ряд Фурье содержит только синусы, т. е.
где
Если функция задана на сегменте [0,l], то для разложения в ряд Фурье достаточно доопределить ез на сегменте [— l, 0] произвольным способом, а затем разложить в ряд Фурье, считая ее заданной на сегменте [— l, l]. Наиболее целесообразно функцию доопределить так, чтобы ее значения в точках сегмента [— l, 0] находились из условия = f(—х) или = — f(— х). В первом случае функция на сегменте [— l, l] будет четной, а во втором—нечетной. При этом коэффициенты разложения такой функции (ат в первом случае и bт — во втором) можно определить по вышеприведенным формулам для коэффициентов четных и нечетных функций.
485. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом 2π, заданную в интервале (—π, π) у равнением f(х)= π +х.
∆ Графиком этой функции в интервале (—π, π) является отрезок, соединяющий точки (—π; 0) и (π;2π). На рис. 29 изображен график функции у=S(х), где S(x)—сумма ряда Фурье функции . Эта сумма является периодической функцией с периодом 2 π и совпадает с функцией f(х) на сегменте [—π, π].
Определяем коэффициенты ряда Фурье. Сначала находим
Второй интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции, взятый по интервалу, симметричному относительно начала координат. Таким образом, я
Далее, находим коэффициенты ат. Имеем
Нетрудно видеть, что оба интеграла равны нулю (подынтегральная функция второго интеграла является нечетной как произведение четной функции на нечетную). Итак, аm=0, т. е. а1 = а2 = а3= ... =0. Найдем теперь коэффициенты bт:
Первый интеграл равен нулю. Подынтегральная функция второго интеграла—четная как произведение двух нечетных функций. Таким образом,
Интегрируя по частям, получим , т. е.
Следовательно, разложение функции f(x) в ряд Фурье имеет вид
▲
486.Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x) с периодом 2, заданную на сегменте [—1,1] уравнением f(х) = х2 (рис. 30).
∆ Рассматриваемая функция является четной. Ее график—дуга параболы, заключенная между точками (—1; 1) и (1; 1). Так как l=1, то
Здесь нужно дважды проинтегрировать по частям:
1)
2)
Так как рассматриваемая функция—четная, то bт = 0. Следовательно,
▲
487. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию, заданную на полупериоде [0,2]
уравнением
∆ Функция может быть разложена в ряд Фурье бесчисленным количеством способов. Рассмотрим два наиболее важных варианта разложения.
1) Доопределим функцию f(x) на сегменте [—2, 0] четным образом (рис. 31).
Имеем l= 2,
Интегрируем по частям:
Еще раз интегрируем по частям:
Итак,
2) Доопределим функцию f(х) на сегменте [—2,0] нечетным образом (рис. 32):
,
Итак,
▲
488. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом 2l (рис. 33), заданную на сегменте [—l, l] следующим образом:
0 при -l ≤ x ≤ 0,
f(x)= x при 0≤ x≤ l/2,
l/2 при l/2 ≤x ≤ l.
∆ Находим
К первому интегралу применяем интегрирование по частям:
откуда
Определяем коэффициенты bm:
К первому интегралу применяем интегрирование по частям:
Имеем
Если .
……………………………………………………
Следовательно,
Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(х) с периодом T, заданную на указанном сегменте.
489. f(х) = х; T= 2π; [—π, π ].
490. f(x) = |x|; Т = 2; [-1, 1].
491. f(x) = еx; Т = 2π; [— π, π].
492. f(х) = х3; Т = 2π; [— π, π].
493. f(х) = π —2x;; Т = 2π; [0, π]. Продолжить f(x) на сегмент
[—π, 0]: 1) четным образом; 2) нечетным образом.
494.
495. .
496. f(х) = х2 Т = 2 π; [0, π]. Продолжить f(x) на сегмент
[—π, 0] нечетным образом.
497.
498. f(х) = соs 2х; T = 2 π; [0, π]. Разложить в ряд по синусам.
499. f(x) = x; Т = 2; [0, 1]. Разложить в ряд по синусам.
500. . Разложить в ряд по косинусам.
§ 9. ИНТЕГРАЛФУРЬЕ
Если функция f(х) удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном
отрезке оси Ox и абсолютно интегрируема вдоль всей оси ( т. е.
сходится ), то для нее справедлива интегральная формула Фурье (получаемая
предельным переходом из ряда Фурье периодической функции с периодом 21 при l—>∞):
(в точках разрыва I рода по-прежнему за значение f (x) принимается (1/2) [f(х0—0)+f(xо+0)], где х0 — абсцисса точки разрыва). Интеграл Фурье можно представить в комплексной форме:
Для четной функции интеграл Фурье может быть представлен в виде
а для нечетной функции—в виде
С тремя последними формулами связаны так называемые интегральные преобразования Фурье:
1. Преобразование Фурье общего вида:
(обратное).
(прямое).
2. Косинус-преобразование Фурье (для четных функций):
(прямое),
(обратное).
3. Синус-преобразование Фурье (для нечетных функций):
(прямое),
(обратное).
Синус- и косинус-преобразования Фурье могут применяться к функциям, заданным лишь на положительной полуоси Ох, если они абсолютно интегрируемы вдоль этой полуоси и удовлетворяют на любом ее конечном отрезке условиям Дирихле. При этом синус-преобразование продолжает функцию f(х) на отрицательную полуось нечетным образом, а косинус-преобразование — четным.
Примечание. В интегральных формулах Фурье все интегралы вида
понимаются в смысле главного значения, т. е.
501.Найти косинус- и синус-преобразования функции
∆ Имеем
Так как то
Аналогично получаем
В свою очередь, применив косинус- и синус-преобразования Фурье к функциям и , получим функцию f (х), т. е
Отсюда получаем интегралы Лапласа:
▲
502. Пусть функция f(х) определена равенствами
1 при 0 ≤ x < a
f(x)= 1/2 при x = a;
0 при x < 0.
Найти ее косинус- и синус-преобразования (рис. 34).
∆ Находим косинус-преобразование данной функции:
Найдем теперь синус-преобразование:
Отсюда получаем
(разрывный множитель Дирихле) и
503. Найти преобразование Фурье функции
∆ По формуле преобразования Фурье
используя вид функции f(х), находим
Первый и последний интегралы, очевидно, равны нулю. Обозначим остальные интегралы соответственно через I1, I2 и I3 и вычислим их:
Итак,
504.Найти преобразование Фурье функции
505.Найти преобразование Фурье функции
506.Найти синус- и косинус-преобразования Фурье функции