Список рекомендованной литературы.

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

дисциплины «ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»

для

специальности 010501 «Прикладная математика и информатика»

СОГЛАСОВАНО специалист по учебно-методической работе ______________________ Н.Н. Надеждина «___»___________________________ 20__г.

ПРИНЯТО на заседании кафедры прикладной математики Протокол № 9 от 13.06. 2012 г. Заведующий кафедрой _____________________ М.М. Хапаев

Севастополь - 2012

Рабочая программа составлена на основе Программы курса «Введение в численные методы» факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова.

Рабочая программа разработана кандидатом физико-математических наук доцентом

Белоусовой Э.И. в 2012 году

курс – 3

семестр – 5

лекций – 36 часов

самостоятельная работа студентов – 36 часов

форма контроля теоретического курса – экзамен

Содержание.

Введение ……………………………………………4 стр.

Тематический план ………………………………...4 стр.

Планы лекций …………………………………… ...5 стр.

Самостоятельная работа студентов ……………….7 стр.

Рекомендованная литература …………………….. 7 стр.

Система итогового контроля знаний ……………...7 стр.

Введение.

В пятом семестре студентам специальности «Прикладная математика» читается курс «Введение в численные методы», предусмотренный программой факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова.

Предмет дисциплины – интерполирование функций, численное интегрирование систем линейных алгебраических уравнений, численное решение дифференциальных уравнений первого порядка, численное решение краевой задачи для уравнений второго порядка.

Цель курса – познакомить студентов с основными понятиями численных методов интерполяции функций, численного интегрирования, численного решения алгебраических и дифференциальных уравнений.

Задача курса – дать фундаментальную подготовку в численном решении дифференциальных уравнений, умении применять их в решении прикладных задач, ставить и решать краевые задачи. Оценивать погрешность получаемого решения. Научить студентов интерполировать функции и оценивать возникающие при этом погрешности. Усвоить преимущества и недостатки того или иного численного метода и уметь выбирать тот или иной метод в зависимости от поставленной задачи.

Структурно-логическое место дисциплины в учебном процессе. Данный курс читается после изучения студентами основ математического анализа и линейной алгебры на первом курсе и обыкновенных дифференциальных уравнений на втором курсе. Курс «Введение в численные методы» предшествует курсу «Численные методы», посвященному численным методам решения уравнений в частных производных.

Что должен знать и уметь студент по окончании курса. Студент должен уметь численно решать системы линейных алгебраических уравнений, оценивать их обусловленность и её связь с погрешностью решения. Уметь выбрать оптимальный метод интерполяции функций и применять его в поставленной задаче. Строить математические модели изучаемого явления, заменяя дифференциальные уравнения их разностной аппроксимацией. Использовать полученные навыки при выполнении курсовых работ и в научной работе студентов.

2. Тематический план.

№ п/п	Темы	Л час	Пр час	Сам час
1.	Введение. Математическое моделирование, вычислительный эксперимент.	1 1
	ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ
2.	Постановка задачи интерполирования Интерполирование полиномами
3.	Интерполяционный полином Лагранжа. Погрешность интерполирования.
4.	Интерполирование с кратными узлами. Полиномы Эрмита.
5.	Интерполирование сплайнами. Определение кубического сплайна.
6.	Существование кубического сплайна. Сходимость и точность интерполирования сплайнами.
7.	Контрольная работа №1
	ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
8.	Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона. Сходимость. Остаточные члены в формулах прямоугольников, трапеций и Симпсона. Точность. Апостериорная оценка погрешности и повышение точности по результатам расчетов с разными шагами.
9.	Проблема оптимизации квадратурных формул. Квадратурные формулы Гаусса.
10.	Полиномы Лежандра. Узлы и веса в квадратурных формулах Гаусса.
	ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
11.	Формулы Крамера. Метод Гаусса. Метод Гаусса. Число действий в методе Гаусса. Метод Гаусса с выбором ведущих элементов. Уменьшение ошибок округления. Вычисление определителей.
12.	Системы с трехдиагональными матрицами. Метод прогонки.
13.	Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений. Линейные нормированные пространства. Норма матриц. Устойчивость по правой части решения системы линейных алгебраических уравнений с неравным нулю определителем. Число обусловленности матрицы.
13.	Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Каноническая форма одношаговых итерационных методов. Достаточное условие сходимости итерационного метода.
14.	Метод простой итерации. Методы Зейделя и верхней релаксации.
15.	Контрольная работа №2
	ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
16.	Разностные уравнения. Сеточные функции и сеточные нормы. Разностная ппроксимация производных. Разностные уравнения.
17.	Численное решение задачи Коши. Метод Эйлера. Метод Рунге-Кутта.
18.	Численое решение краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка.
	ВСЕГО:

План лекций

№ лекции	Тема лекции	Часы
Лекция 1.	Введение. Математическое моделирование, вычислительный эксперимент.	1 1
	ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ
Лекция 2.	Постановка задачи интерполирования Интерполирование полиномами
Лекция 3.	Интерполяционный полином Лагранжа. Погрешность интерполирования.
Лекция 4.	Интерполирование с кратными узлами. Полиномы Эрмита.
Лекция 5.	Интерполирование сплайнами. Определение кубического сплайна.
Лекция 6.	Существование кубического сплайна. Сходимость и точность интерполирования сплайнами.
	Контрольная работа №1
	ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Лекция 7.	Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона. Сходимость. Остаточные члены в формулах прямоугольников, трапеций и Симпсона. Точность. Апостериорная оценка погрешности и повышение точности по результатам расчетов с разными шагами.
Лекция 8.	Квадратурные формулы. Проблема оптимизации квадратурных формул. Квадратурные формулы Гаусса.
Лекция 9.	Полиномы Лежандра. Узлы и веса в квадратурных формулах Гаусса.
	ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Лекция 10.	Формулы Крамера. Метод Гаусса. Метод Гаусса. Число действий в методе Гаусса. Метод Гаусса с выбором ведущих элементов. Уменьшение ошибок округления. Вычисление определителей.
Лекция 11.	Системы с трехдиагональными матрицами. Метод прогонки.
Лекция 12.	Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений. Линейные нормированные пространства. Норма матриц. Устойчивость по правой части решения системы линейных алгебраических уравнений с неравным нулю определителем. Число обусловленности матрицы.
Лекция 13.	Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Каноническая форма одношаговых итерационных методов. Достаточное условие сходимости итерационного метода.
Лекция 14.	Метод простой итерации. Методы Зейделя и верхней релаксации.
	Контрольная работа №2
	ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Лекция 15.	Разностные уравнения. Сеточные функции и сеточные нормы. Разностная апроксимация производных. Разностные уравнения.
Лекция 16.	Численное решение задачи Коши. Метод Эйлера. Метод Рунге-Кутта.
Лекция 17.	Численное решение краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка.
	Итого

4. Самостоятельная работа студентов.

№№ п/п	Задание	Часы
1.	Выполнение домашнего задания по лекции № 1
2.	Выполнение домашнего задания по лекции № 2
3.	Выполнение домашнего задания по лекции № 3
4.	Выполнение домашнего задания по лекции № 4
5.	Выполнение домашнего задания по лекции № 5
6.	Выполнение домашнего задания по лекции № 6 Подготовка к контрольной работе №1
7.	Выполнение домашнего задания по лекции № 7
8.	Выполнение домашнего задания по лекции № 8
9.	Выполнение домашнего задания по лекции № 9
10.	Выполнение домашнего задания по лекции № 10
11.	Выполнение домашнего задания по лекции № 11
12.	Выполнение домашнего задания по лекции № 12
13.	Выполнение домашнего задания по лекции № 13
14.	Выполнение домашнего задания по лекции № 14 Подготовка к контрольной № 2
15.	Выполнение домашнего задания по лекции № 15
16.	Выполнение домашнего задания по лекции № 16
17.	Выполнение домашнего задания по лекции № 17
	Итого

ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Классическая постановка задачи интерполирования. Интерполирование полиномами.
Интерполяционная формула Лагранжа.
Интерполяционный полином в форме Ньютона.
Погрешность интерполяционного полинома.
Интерполирование с кратными узлами. Полиномы Эрмита.
Интерполирование сплайнами. Определение кубического сплайна. Существование кубического сплайна.
Решение системы уравнений для коэффициентов кубического сплайна.
Сходимость и точность интерполирования сплайнами.

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ.

Квадратурные формулы прямоугольников и трапеций. Сходимость. Остаточные члены.
Квадратурная формула Симпсона. Сходимость. Остаточный член.
Апостериорная оценка погрешности и повышение точности квадратурных формул по результатам расчетов с разными шагами.
Задача построения оптимальных квадратурных формул. Квадратурные формулы Гаусса.
Полиномы Лежандра.
Узлы и весовые коэффициенты в квадратурных формулах Гаусса.
Схема вычислительного эксперимента в математическом моделировании. Построение и исследование численного метода. Погрешности метода, дискретизация и округления.