Переход от общих уравнений прямой к каноническим
Переход от канонических (параметрических) уравнений прямой к общим не вызывает затруднений. Действительно, если канонические уравнения прямой имеют вид
,
то ее параметрические уравнения:
, 
, 
а общие уравнения:
Переход от общих уравнений прямой к каноническим (параметрическим) требует несколько больших усилий.
Пусть прямая 
задана общими уравнениями:
(5)
Чтобы записать канонические (параметрические) уравнения этой прямой, необходимо найти ее направляющий вектор 
и координаты какой-нибудь точки 
на прямой. Координаты точки 
найти легко – это одно из решений системы уравнений (5). Выясним, как можно найти направляющий вектор .
Пусть 
и 
– плоскости, уравнения которых входят в общие уравнения прямой, 
и 
– нормальные векторы к плоскостям и соответственно.
Так как прямая лежит в плоскости , то векторы 
и перпендикулярны.
Так как прямая лежит в плоскости , то векторы 
и тоже перпендикулярны.
Следовательно, в качестве можем взять векторное произведение векторов и (см. определение векторного произведения в §9).
ПРИМЕР. Записать канонические уравнения прямой
(6)
1) Найдем одно из решений системы (6). Так как 
, то этот минор можно выбрать в качестве базисного минора матрицы системы (6). Следовательно, переменные 
и 
можем выбрать в качестве базисных, а переменную 
– свободной. Так как нам не нужно все множество решений системы (6), то придадим переменной конкретное значение. Например, полагаем 
. Тогда переменные и будут удовлетворять системе
Решаем эту систему по формулам Крамера и получаем:
, 
, 
;
, 
.
Таким образом, 
– одно из решений системы (6), и точка 
– точка на рассматриваемой прямой.
2) Найдем направляющий вектор прямой. Имеем:
, 
;
.
Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой можем взять вектор 
, и канонические уравнения рассматриваемой прямой будут иметь вид:
.
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Пусть плоскость (Р) задана уравнением
а прямая L - своими каноническими уравнениями
Требуется найти угол между прямой (31) и плоскостью (30). Углом между прямой и плоскостью назовем угол между прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 5).
Тогда угол φ между прямой и плоскостью не превышает π/2. Пусть 
- нормальный вектор плоскости,
а 
- направляющий вектор прямой.
Т.к. 
, то
Поставим задачу определить координаты точки пересечения прямой (32) и плоскости (30). Поскольку точка пересечения одновременно принадлежит и прямой и плоскости, то ее координаты (х, у, z) удовлетворяют системе уравнений
Запишем параметрические уравнения прямой
Координаты точки пересечения (х, у, z), найденные из уравнений прямой, должны удовлетворять уравнению плоскости, т.е.
Отсюда находим значение параметра t для точки пересечения
и затем с помощью параметрических уравнений прямой вычисляем координаты точки пересечения (х, у, z).
Возможны случаи:
