Уравнения прямой линии на плоскости.

Прямую линию можно определить как геометрическое место точек, принадлежащих одновременно двум непараллельным плоскостям. Пусть уравнения плоскостей P1 и P2 заданы, тогда

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

определяет прямую линию, и систему (11) называют общим уравнением прямой линии.

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

Рассмотрим теорию прямой линии в пространстве R3. Очевидно, прямая линия будет полностью определена, если на ней фиксировать точку M0(x0, y0, z0) и вектор Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru ,параллельный этой прямой (рис. 2). Точку M0 иногда называют начальной точкой, а вектор Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru - направляющим вектором прямой. Получим наиболее употребительные формы уравнения прямой в пространстве.


Пусть Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru - радиус-вектор начальной точки M0,
Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru - радиус-вектор текущей точки М прямой. Тогда вектор Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru коллинеарен направляющему вектору прямой Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru , следовательно,

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

где t - некоторое число, называемое параметром. Уравнение (12) называется векторным параметрическим уравнением прямой. Если Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru то можно перейти от уравнения (12) к параметрическим уравнениям прямой в координатном виде:

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

Изменяя значения t, можно получить координаты любой точки, лежащей на прямой. Из уравнений (13) получим:

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

Отсюда

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

Уравнения (14) называются каноническими уравнениями прямой.

Пример 1. Уравнение прямой задано в общем виде

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

Необходимо записать уравнение прямой в каноническом виде.

Решение. Для записи уравнений (14) нам нужно знать координаты какой-либо точки M0на прямой и координаты какого-либо направляющего вектора Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru прямой. Находим координаты точки M0(x0, y0, z0). Для этого одну из координат задаем произвольно (так, чтобы оставшаяся система двух уравнений с двумя неизвестными имела единственное решение), скажем, z0 = 0. После этого решаем систему относительно x0 и y0

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

Для определения вектора Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru нам нужны координаты еще одной точки M1 на прямой (рис. 3), тогда в качестве направляющего вектора можно взять вектор Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

Для вычисления координат M1 берем, например z1 = 1, а x1и y1 находим из решения системы

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

Тогда Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

Канонические уравнения прямой имеют вид

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

Один из направляющих векторов можно было найти и как векторное произведение нормальных векторов плоскостей, то есть

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

Пример 2. Заданы канонические уравнения прямой Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru Необходимо перейти к общим уравнениям.

Решение. Записываем данные уравнения в виде системы.

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

Последняя система и дает ответ.

Углом между двумя прямыми в пространстве будем называть любой из углов, образованных двумя прямыми, проведенными через произвольную точку пространства параллельно данным прямым. Следовательно, угол между двумя прямыми - это угол φ между их направляющими векторами, т.е.

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

Условие перпендикулярности двух прямых - это условие перпендикулярности их направляющих векторов:

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

а условие параллельности двух прямых - это условие параллельности (коллинеарности) их направляющих векторов:

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

Рассмотрим теорию прямой линии в пространстве R2.

Выделим особо тот частный случай, когда одна из плоскостей в системе (11) есть плоскость Оху, и, следовательно, рассматриваемая прямая лежит в координатной плоскости Оху. В этом случае система (11) может быть записана в виде:

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

Рассмотрим вектор Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru . Он расположен в плоскости Оху, перпендикулярен к плоскости Ax + By + D = 0 и, следовательно, перпендикулярен к прямой, определяемой системой (18).

Поскольку далее будем рассматривать только точки плоскости Оху, то третьи координаты точек и векторов не будем записывать, всегда подразумевая, что они равняются нулю. Как уже отметили, уравнению Ax + By + D = 0 в плоскости z = 0 соответствует прямая. Поэтому в аналитической геометрии на плоскости уравнение

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

называют общим уравнением прямой.

Пусть B ≠ 0, тогда общее уравнение прямой (19) можно записать в виде:

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

где Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

Выясним геометрический смысл коэффициентов k и b. Рассмотрим вектор Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru , очевидно, что он направлен вдоль прямой (19), т.к.

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

поэтому вектор Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru называют направляющим вектором прямой (19).

Найдем точку M0 пересечения прямой (20) с осью ординат. Т.к. абсцисса точки M0 равна нулю, то ее ордината равна b, т.е. M0(0,b). Обозначим через φ угол между вектором Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru и осью Ох (рис. 4).

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

Тогда

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

поэтому Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

Таким образом, k есть тангенс угла между заданной прямой и осью абсцисс, а свободный член b есть ордината точки пересечения прямой с осью ординат.

Число k называют угловым коэффициентом прямой, а b - начальной ординатой.

Уравнение (20) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Очевидно, что уравнением прямой вида (20) можно описать любые прямые, кроме прямых, параллельных оси ординат, которые описываются уравнением x = а, где а = const.

Приведем еще два вида уравнений прямой на плоскости.

Пусть даны две точки M0(x0, y0) и M1(x1, y1). Требуется написать уравнение прямой, проходящей через эти точки. Для случая плоскости канонические уравнения (14) примут вид:

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

Вектор Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru может быть взят в качестве направляющего вектора прямой. И, следовательно, уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M0 и M1, примет вид

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

С помощью (21) запишем параметрические уравнения прямой

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

Пусть прямая не перпендикулярна оси Ох, т.е. m ≠0, тогда, исключив параметр t из уравнений (23), получаем

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

где Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

Уравнение (24) называют уравнением прямой, проходящей через точку M0(x0, y0) и имеющей угловой коэффициент k.

Для вычисления угла между прямыми можно пользоваться методами вычисления угла между двумя векторами. Пусть заданы две прямые своими общими уравнениями

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

Их направляющими векторами являются векторы

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

Тогда косинус одного из углов между прямыми вычислим по формуле

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

Условие параллельности двух прямых есть условие параллельности их направляющих векторов, т.е.

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

Условие перпендикулярности двух прямых есть условие перпендикулярности их направляющих векторов, т.е.

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

Если две прямые заданы своими уравнениями с угловыми коэффициентами

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

то поскольку A1 = k1, B1 = -1 и A2 = k2, B2 = -1, то условие перпендикулярности принимает вид:

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

а условие параллельности прямых

Уравнения прямой линии на плоскости. - student2.ru

Наши рекомендации