Уравнения плоскости и прямой в пространстве

В пространстве каждая его точка Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru (рис. 35) представляется тремя декартовыми координатами: абсциссой Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , ординатой Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru и аппликатой Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru (записывается Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru ). Точка также может быть задана своим радиус-вектором

Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Рис. 35
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru ,

проведенным из начала координат в эту точку.

Расстояние Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ruмежду точками пространства Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru и Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru

Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru ;

координаты середины отрезка Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru :

Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru

Уравнение вида

Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru или Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru (26)

Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru связывающее координаты Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru и Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru точек пространства, называется уравнением поверхности Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru, если:

a)

Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
координаты каждой точки Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru поверхности Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ruудовлетворяют этому уравнению (рис. 1.36);

b) координаты любой точки, не лежащей на поверхности Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , неудовлетворяют этому уравнению.

Уравнение (26) в общем случае задает в пространстве некоторое точечное множество, которое может быть и не поверхностью в пространстве.

Пример. Уравнение Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru есть уравнение шара радиуса Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru с центром в точке с координатами Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru ; уравнение Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru не задает ни одной точки в пространстве (его решением является пустое множество).

Значения координат Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , и Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , которые удовлетворяют системе уравнений двух поверхностей

Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru

определяют линию пересечения этих поверхностей. Если система не имеет решений, то поверхности не пересекаются.

Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Рис. 37
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнение плоскости можно получить следующим образом. Пусть Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru – любой вектор, перпендикулярный данной плоскости Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru (нормальный вектор плоскости), а Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru – точка, через которую плоскость проходит (рис. 37). Любой вектор Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , проведенный из точки Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru в произвольную точку плоскости Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , будет перпендикулярен вектору Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru и, следовательно, их скалярное произведение Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , т. е.

Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru .(27)

Полученное уравнение есть уравнение плоскости, проходящей через заданную точку Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru плоскости перпендикулярно заданному вектору Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru. Оно первой степени относительно декартовых прямоугольных координат (линейно).

Уравнение (27) можно переписать в виде

Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru или Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru (28)

где Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru . Это уравнение также линейно относительно координат и называется общим уравнением плоскости: при Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru и Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru не равных нулю одновременно оно определяет плоскость с нормальным вектором Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru. Обратно, каждую плоскость можно определить уравнением первой степени относительно декартовых прямоугольных координат вида (28).

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru параллельно плоскости Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru .

◄ Так как искомая плоскость Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru параллельна плоскости Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , для нее можно взять в качестве нормального вектора нормальный вектор плоскости Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru : Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru . Величину Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru найдем из условия, что искомая плоскость проходит через точку Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , т. е. координаты этой точки должны удовлетворять уравнению плоскости: Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru . Окончательно, искомое уравнение плоскости Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru . ►

Особые случаи положения плоскости относительно системы координат, задаваемых общим уравнением (28):

1) Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru плоскость Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , проходящая через начало координат;

2) Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru плоскость Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru параллельна оси Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru (оси Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru при Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , оси Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru при Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru );

3) Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru плоскость Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru параллельна координатной плоскости Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru ( Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru при Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru при Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru );

4) Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru – уравнение координатной плоскости Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru ( Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ruУравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ruУравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru ).

Уравнение плоскости в зависимости от решаемой задачи может быть задано в различных формах.

Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Рис. 38
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Плоскость, пересекающая ось Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru в точке Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , ось Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru в точке Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru и ось Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru в точке Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru (рис. 38) имеет уравнение (уравнение плоскости в отрезках)

Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru . (29)

Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Рис. 39
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Пусть Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru – расстояние плоскости от начала координат (длина перпендикуляра Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , опущенного из начала координат на плоскость) (рис. 39), Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru – направляющие косинусы нормального вектора Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru : Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , длина Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , т. к. Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru . Тогда уравнение плоскости имеет вид (нормальное уравнение плоскости)

Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru . (30)

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , не лежащие на одной прямой, имеет вид

Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru . (31)

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru и Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru .

◄ Подставляя координаты данных точек в формулу (31), будем иметь Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru

Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru

Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru . Так как в полученном уравнении плоскости нет слагаемого с координатой Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , делаем вывод, что она параллельна оси Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru . ►

Прямая в пространстве

Система двух линейных уравнений

Рис. 40
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru (32)

определяет прямую Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru как пересечение двух плоскостей Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru и Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru (рис. 40) при условии, что эти плоскости не параллельны Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru . При Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru (и только в этом случае) прямая проходит через начало координат.

Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Рис. 1.41
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru

Пример. Рассмотрим систему Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru . Первое уравнение системы задает координатную плоскость Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , а второе – плоскость, параллельную оси Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru . Пересечение этих плоскостей дает прямую линию, лежащую в координатной плоскости Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru (рис. 41).

Рис. 42
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru
Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru

Если прямая проходит через точку Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ruпараллельно вектору Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru (направляющий вектор прямой), то из условия Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , где Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru – вектор, проведенный из точки Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru в произвольную точку прямой Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru(рис. 42), получаем канонические уравнения прямой:

Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru (33)

Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ruи Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , следуют из (33), если в качестве направляющего вектора прямой взять вектор Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru и одну из двух точек (все равно какую), через которые прямая проходит:

Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru (34)

Направляющий вектор Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей (системой (32)), может быть получен при помощи векторного произведения нормальных векторов Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru и Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru этих двух плоскостей:

Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru . (35)

Обозначив в канонических уравнениях (33) отношение через Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru ( Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru – переменный параметр), получаем параметрические уравнения прямой в пространстве:

Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru (36).

Пример. Составить параметрические уравнения прямой Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , заданной как пересечение двух плоскостей Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru и Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru : Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru .

◄ Направляющий вектор прямой Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru найдем по формуле (35) при Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru : Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru = Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru

Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru . Произвольную точку, через которую проходит прямая, можно найти, положив одну из ее координат любому значению и решив затем получающуюся из исходной системы систему двух уравнений с двумя остающимися неизвестными координатами точки. Положив Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , получаем систему Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru . Решение этой системы: Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru , т. е. прямая проходит через точку с координатами Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru . Подставив эти координаты и координаты направляющего вектора в (36), получаем искомые уравнения прямой: Уравнения плоскости и прямой в пространстве - student2.ru . ►

3 Линии (кривые) второго порядка на плоскости

Наши рекомендации