Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство.

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство.

Направленный отрезок или, что то же самое, упорядоченную пару точек будем называть вектором. Обозначается вектор одной буквой Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru или Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru . Векторы характеризуются длиной Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru и направлением. Мы рассматриваем свободные векторы, т. е. такие, которые без изменения длины и направления могут быть перенесены в любую точку пространства.

Ортом вектора Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru называется вектор Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru , который имеет единичную длину и то же направление, что и вектор Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru .

Векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельные одной плоскости, называются компланарными.

Два вектора считаются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и равны по длине.

Пусть даны два вектора. Параллельным переносом приведем их к общему началу. Наименьший угол, на который надо повернуть один вектор до совпадения с другим, называется углом между векторами.

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Рис.1

Координаты вектора. Разложение векторов по базису.

Три вектора , Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru , называются линейно-независимыми, если они не лежат в одной плоскости.

Базисом в трехмерном пространстве R3 называется упорядоченная тройка любых линейно-независимых векторов.

Если Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru - базис в R3, то любой другой вектор, например Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru , единственным образом разлагается по этому базису

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

где числа da, db, dc находятся единственным образом и называются координатами вектора Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru в базисе Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Базис Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru называется прямоугольным (ортогональным), если векторы Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru попарно перпендикулярны. Если они к тому же имеют длину, равную единице, то базис называется ортонормированным.

В пространстве R3 обычно используют прямоугольную декартову систему координат Оxyz, где любая точка М пространства, имеющая координаты х (абсциссу), y (ординату) и z (аппликату), обозначается М(x, y, z).

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Свободный вектор, например Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru , заданный в координатном пространстве Oxyz, может быть представлен в виде

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Здесь xd, yd, zd - проекции вектора Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru на соответствующие оси координат (координаты вектора),
Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru - орты этих осей.

Пишут Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Длина вектора определяется по формуле

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Направление вектора определяется углами α, β, γ, образованными им с осями координат Ox, Oy, Oz. Косинусы этих углов (так называемые направляющие косинусы вектора) вычисляются по формулам:

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Координаты вектора будут равны

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Подставив эти выражения в формулу вычисления длины вектора, установим, что направляющие косинусы вектора связаны соотношением

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Определители. Их свойства.

Определитель первого порядка равен тому единственному элементу, из которого состоит соответствующая матрица.

Определитель второго порядка вычислим, например, по элементам первой строки

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Запишем разложение данного определителя по элементам второй строки

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Полученный результат совпадает с результатом вычисления определителя по первой строке. Этот же результат получится и при разложении по любому из столбцов. Рекомендуем это проверить самостоятельно.

Из сказанного можно заключить, что определитель второго порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

Пример. . Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Найдем определитель третьего порядка, раскладывая его по элементам, например, третьего столбца

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Пример.

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Таким образом, вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителей второго порядка.

Получается, что определитель n - го порядка мы найдем через определители (n -1) - го порядка.

Перечисленные ниже свойства рекомендуется использовать при вычислении определителей.

1. Общий множитель любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя.
2. Если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то величина определителя не изменится.
3. Если в определителе есть нулевая строка (столбец), то определитель равен нулю.
4. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.
5. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Метод Крамера

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).


В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство:

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что Δ отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца(определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы b1,b2,...,bn и x1,x2,...,xn, либо набор c1,c2,...,cn состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

Пример

Система линейных уравнений:

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Определители:

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Решение:

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Пример:

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Определители:

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Метод Гаусса

Этот метод решения систем линейных уравнений пригоден для решения систем с любым числом уравнений и неизвестных.

Суть метода Гаусса заключается в преобразовании заданной системы уравнений с помощью элементарных преобразований в эквивалентную систему ступенчатого треугольного вида.

Полученная система содержит все неизвестные в первом уравнении. Во втором уравнении отсутствует первое неизвестное, в третьем уравнении отсутствуют первое и второе неизвестные и т. д.

Если система совместна и определена (единственное решение), то последнее уравнение содержит одно неизвестное. Найдя последнее неизвестное, из предыдущего уравнения находим еще одно - предпоследнее. Подставляя полученные величины неизвестных, мы последовательно найдем решение системы.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений, используемыми для приведения системы к треугольному виду, являются следующие преобразования:
- перестановка местами двух уравнений;
- умножение обеих частей одного из уравнений на любое число, отличное от нуля;
- прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число.

Элементарные преобразования переводят данную систему линейных алгебраических уравнений в эквивалентную систему.

Две системы называются эквивалентными, если всякое решение первой системы является решением другой системы и наоборот.

Пример 1. Решить систему Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru методом Гаусса.

Решение

Определитель системы не равен нулю (см. пример из 2.2.1). Поэтому система совместна и определена (решение единственно). Выполним преобразования.

Первое уравнение оставим без изменения. Для того, чтобы избавиться от первого неизвестного во втором и третьем уравнениях, к ним прибавим первое, умноженное на -2 в первом случае и на -1 - во втором

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Теперь избавимся от второго неизвестного в третьем уравнении. Для этого второе уравнение умножим на -2 и прибавим к третьему. Получим эквивалентную заданной систему треугольного вида

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Решаем систему снизу вверх. Из третьего уравнения имеем x3= 3 и, подставляя его во второе уравнение, находим x2= 2. Поставив найденные неизвестные в первое уравнение, получим x1= 1. Таким образом, получим решение системы: x1= 1, x2= 2, x3= 3.

Проверка: Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru Получили три тождества.

Пример 2. Решить систему Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Решение

В ней Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru для исключения первого неизвестного во второй и третьей строках (уравнениях) умножим первую строку расширенной матрицы на -2 и -3 и сложим полученные результаты со второй и третьей строками соответственно.

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Следовательно, мы пришли к эквивалентной системе

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Ее третье уравнение получено в результате сложения двух последних уравнений (строк).

Найдя Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru , мы приходим к выводу, что система несовместна. Об этом же говорит и противоречие в третьем уравнении системы.

Пример 2. Решить систему Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Решение

В ней Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Умножим первую строку расширенной матрицы на 2 и -3, сложим полученные результаты со второй и третьей строками соответственно и получим

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Следовательно, мы пришли к эквивалентной системе

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

которая может быть представлена в виде

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

поскольку два последних уравнения - истинные равенства.

Поскольку Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru постольку система совместна, но имеет множество решений. Общее решение системы имеет вид

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Множество частных решений системы будет трехмерным, так как зависит от трех параметров. Выбрав t = 2, v = 1, s = -3, получим частное решение системы x1 = - 6, x2 = 2, x3 = 1, x4= -3.

Матричный метод

Матричным методом могут быть решены только те системы, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель матрицы коэффициентов отличен от нуля (матрица А невырожденная).

Из этих условий следует, что Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru и, следовательно, система совместна и определена.

Решение системы можно получить так: Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Используя свойства произведения матриц и свойство обратной матрицы

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Т.е., для получения столбца неизвестных нужно обратную матрицу матрицы коэффициентов системы умножить на столбец свободных членов.

Пример Решить систему Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru матричным методом.

Решение

В соответствии с пунктом 1.5 найдем обратную матрицу для матрицы коэффициентов системы

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Вычислим определитель, раскладывая по первой строке:

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Поскольку Δ ≠ 0, то A-1 существует.

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Обратная матрица найдена верно.

Найдем решение системы Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Следовательно, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3.

Проверка: Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Система решена верно.

Матричный метод годится для решения любых систем, у которых матрица А квадратная и невырожденная.

Собственные значения

У матрицы A , размерностью (N×N) не может быть больше чем N собственных значений. Они удовлетворяют характеристическому уравнению

det(A − λI) = 0,

являющемуся алгебраическим уравнением N-го порядка. В частности, для матрицы 2×2 характеристическое уравнение имеет вид

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Например,

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Рис. 21 Собственные значения

Набор собственных значений λ1,..., λN матрицы A называется спектром A.

Спектр обладает разнообразными свойствами. В частности

det(A) = λ1×...×λN, Sp(A) = λ1+...+λN.

Собственные значения произвольной матрицы могут быть комплексными числами, однако если матрица симметричная (At = A), то ее собственные значения вещественны.

Собственные векторы

У матрицы A, размерностью (N×N) не может быть больше чем N собственных векторов, каждый из которых соответствует своему собственному значению. Для определения собственного вектора vn нужно решить систему однородных уравнений

(A − λnI) vn = 0.

Она имеет нетривиальное решение, поскольку det(A − λnI) = 0.

Например,

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Рис. 22 Собственные вектора

Собственные вектора симметричной матрицы ортогональны.

Пределы. Теоремы пределов.

Функция Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru имеет предел Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru в точке Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru , предельной для области определения функции Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru , если для каждой окрестности предела Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru существует проколотая окрестность точки Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru , образ которой при отображении Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru является подмножеством заданной окрестности точки Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru .

Свойства пределов числовых функций

Пусть даны функции Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru и Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru .

Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел.

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Доказательство

Сходящаяся функция локально сохраняет знак. Более обще,

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

где Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru — проколотая окрестность точки a.

В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Отделимость от нуля функций, имеющих предел, отличный от нуля.

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Предел суммы равен сумме пределов:

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Предел разности равен разности пределов:

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Предел произведения равен произведению пределов:

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Предел частного равен частному пределов.

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Постоянное число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует номер N, что все значения xn, у которых n>N, удовлетворяют неравенству

|xn - a| < e. (6.1)

Записывают это следующим образом: Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru или xn→ a.

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству

a- e < xn < a + e, (6.2)

которое означает, что точки x n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-e, a+e), т.е. попадают в какую угодно малую e-окрестность точки а.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции xn = f(n) целочисленного аргумента n.

Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a. Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Замечательные пределы

Первый замечательный предел

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru Следствия Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru Второй замечательный предел Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru При решении примеров полезно иметь в виду следующие равенства: Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство.

Направленный отрезок или, что то же самое, упорядоченную пару точек будем называть вектором. Обозначается вектор одной буквой Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru или Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru . Векторы характеризуются длиной Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru и направлением. Мы рассматриваем свободные векторы, т. е. такие, которые без изменения длины и направления могут быть перенесены в любую точку пространства.

Ортом вектора Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru называется вектор Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru , который имеет единичную длину и то же направление, что и вектор Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru .

Векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельные одной плоскости, называются компланарными.

Два вектора считаются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и равны по длине.

Пусть даны два вектора. Параллельным переносом приведем их к общему началу. Наименьший угол, на который надо повернуть один вектор до совпадения с другим, называется углом между векторами.

Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство. - student2.ru

Рис.1

Наши рекомендации