Декартова система координат. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Координаты вектора. Линейная зависимость и независимость векторов. Понятие базиса.

8¹. Декартова система координат.

Осью называют прямую с выбранными на ней направлением, началом отсчета и единицей масштаба. Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее началоотсчета О иодинаковую единицу масштаба (рис. 1), образуют (декартову) прямоугольную систему координат на плоскости.

Ось Ох называется осью абсцисс, ось Оу – осью ординат. Точка О пересечения осей называется началом координат. Плоскость, в которой расположены оси Ох и Оу, называется координатной плоскостью и обозначается Оху.

Рис. 1 Рис. 2

Координаты х и у точки М называются ее абсциссой и ординатой.

Точку М, имеющую координаты х и у, обозначают через М(х; у).

Прямоугольная система координат на плоскости устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек плоскости и множеством упорядоченных пар чисел.

Оси координат разбивают плоскость на четыре части, их называют четвертями, квадрантами или координатными углами и нумеруют римскими цифрами I, II, III, IV так, как показано на рис. 2.

Для любых двух точек и плоскости расстояние d между ними выражается формулой

.

Декартова система координат в пространстве. Система координат Охуz определяется заданием масштабной единицы измерения длин и трех пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей: Ох, Оу, Оz. Точка О – начало координат, Ох – ось абсцисс, Оу – ось ординат, Оz – ось аппликат.

Декартова система координат в пространстве устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек пространства и множеством упорядоченных троек чисел. Плоскости Оху, Оуz, Охz назовем координатными плоскостями. Они делят все пространство на восемь частей, называемых октантами.

8². Понятие вектора.

Свободным вектором называется направленный отрезок (то есть отрезок, для которого определены начало и конец) при произвольности его положения на плоскости или в пространстве. Направление вектора на рисунке указывают стрелкой (рис. 1). Вектор нулевой длины называется нулевым и обозначается .

Связанным вектором ( )с началом в точке А и концом в точке В называют направленный отрезок, в котором точка А является началом, а точка В – концом. Начало вектора называют еще точкой его приложения.

Векторы также обозначают одной буквой с чертой над ней, например, .

Векторы и называются коллинеарными (параллельными), если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарность векторов обозначается через .

Коллинеарные векторы могут быть сонаправлеными, (рис. 2б) или противоположно направлеными (рис. 2а).

Векторы и называются равными ( ), если они имеют одинаковую длину и сонаправлены.

Векторы, имеющие противоположные направления и равные длины, называются противоположными. Вектор, противоположный вектору , обозначается .

Векторы называют компланарными, если существует плоскость, которой они все параллельны. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору, и поэтому компланарен с любыми двумя векторами.

Рис. 3

Меньший из этих углов (на рис. 3 это угол ) назовем углом между векторами и и обозначим .

Очевидно, что . Если , то векторы и называют ортогональными. Нулевой вектор ортогонален всякому вектору по определению.

8³. Линейные операции над векторами.

Пусть даны два вектора и . Суммой называется вектор, который имеет началом начало вектора и концом – конец вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора

Сумму неколлинеарных векторов и можно найти по правилу треугольника (рис. 1а)) или параллелограмма (рис. 1б)).

Рис. 1а) Рис. 1б)

Если и то .

Можно найти сумму любого числа заданных векторов.

Разностью векторов и называется вектор , который в сумме с вектором дает вектор . Если , то .

Пусть даны вектор и число Произведением называют вектор, который коллинеарен вектору , имеет длину, равную , и направление такое же, как и вектор , если , и противоположное, если (рис. 2). Если , то .