Определение векторного произведения
Если вектора и заданы в координатной форме то их векторное произведение определяется по формуле:
,
где -орты осей координат Ox, Oy, Oz, соответственно:
Пример. Найдем векторное произведение векторов .
Из приведенной формулы имеем
Свойства векторного произведения
Отметим следующие свойства векторного произведения:
а) ;
б) , т.е. модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах;
в) ;
г) , если либо = , либо = , либо вектора и коллинеарны;
д) , где λ –любое число;
е) .
Приведенные свойства позволяют решать многие задачи геометрии и векторного анализа.
Примеры.
а) Вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах
= (3, 6, -2) и = (-2, 3, 6).
Имеем
Тогда
б) Вычислим площадь треугольника с вершинами А(1, 1, 1), В(2, 3, 4), С(4, 3, 2).
На сторонах АВ и АС достроим треугольник до параллелограмма АВСD. Тогда Так как то
Следовательно, , а
в) Вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах
+ 3 и 3 + , если а угол между векторами и
равен p/6.
Заметим, что для любого вектора. Следовательно,
Итак, искомая площадь параллелограмма S=4.
г) Известно, что вектор ортогонален векторам = (3, 2, 1) и
= (2, 3, 1), а | | = 3. Найти вектор .
Так как вектор ортогонален векторам и, то он коллинеарен вектору . Имеем
Таким образом, Следовательно, , Итак, имеем два вектора, удовлетворяющих условиям задачи:
6.3. Задачи для самостоятельного решения
а) Даны векторы = (-1, 3, 2) и = (2, 1, 1). Найти координаты векторов: 1) ; 2) .
б) В треугольнике с вершинами А(1, -1, 2), В(5, -6,2), С(1, 3, -1) найти высоту h = .
в) Найти координаты вектора , если он ортогонален векторам
= (2, 1, -3) и = (1, 3, -2), а также удовлетворяет условию (1, -7, 2)=10.
СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Определение и свойства
Смешанным произведением трех векторов
называется число
Смешанное произведение обладает следующими свойствами:
а) , если все три вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарны);
б)
г) объем параллелепипеда, построенного на векторах и , равен
Примеры.
а) Найти смешанное произведение векторов =(5, 7, 2), = (1, -1, 1),
= (2, 2, 1).
Из определения имеем
= -5 + 14 + 4 + 4 - 10 - 7 = 0, т.е. вектора и компланарны.
б) Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А(2, 2, 2),
В(4, 3, 3), С(4, 5, 4), D(5, 5, 6).
Из свойств смешанного произведения заключаем, что искомый объем равен
в) Вычислим
Используя определение смешанного произведения и свойства векторного и скалярного произведений получаем
г) По координатам вершин пирамиды найти: 1) длины ребер и 2) угол между ребрами и 3) площадь грани 4) объем пирамиды
Находим векторы и
Длины векторов, т.е. длины ребер и , таковы:
Скалярное произведение векторов и равно
а косинус угла между ними:
Отсюда следует, что - тупой угол, равный (рад.) с точностью до 0,01. Это и есть искомый угол между ребрами и
Площадь грани равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. половине модуля векторного произведения этих векторов:
Следовательно,
Объем пирамиды равен объема параллелепипеда, построенного на векторах , , . Вектор Итак,
7.2. Задачи для самостоятельного решения
а) Даны векторы = (1, 1, -3), = (-2, 2, 1) и = (3, -2, 5). Вычислить .
б) В треугольной пирамиде с вершинами в точках А(1, 1, 1), В(2, 0, 2), С(2, 2, 2) и D(3, 4, -3) вычислить высоту h = | |.
в) Доказать, что четыре точки А(1, 2, 1), В(0, 1, 5), С(-1, 2, 1) и
D(2, 1, 5) лежат в одной плоскости.
ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ