Геометрическая смысл векторного произведения.

Найти векторное произведение векторов и . Изобразить все данные и результат. Первый вектор изобразить синим, второй зеленым, результат красным. Сделать выводы: как связаны определение векторного произведения и то, что мы получили на рисунке.

%Задаем векторы

a=[1,2,0];b=[2,1,0];

% Находим векторное произведение

c=cross(a,b)

% Нашли векторное произведение.

% Это будет вектор с координатами c=(0,0,-3)

% офоррмляем график, задаем коорд оси

grid on, hold on, axis square

line([-5 0 0;5 0 0], [0 -5 0;0 5 0],[0 0 -5;0 0 5],'Color','black')

% первый вектор, по умолчанию цвет - синий

line([0 1],[0,2],'LineWidth',4)

% конец вектора, по умолчанию цвет синий

plot3(1,2,0,'>','LineWidth',4)

% второй вектор

line([0 2],[0,1],'Color','green','LineWidth',4).

plot3(2,1,0,'>g','LineWidth',4)

% результат векторного произведения c=(0,0,-3)

line([0 0],[0,0],[0 -3],'Color','red','LineWidth',4)

plot3(0,0,-3,'>r','LineWidth',4) % конец вектора

plot3(5,0,0,'<k','LineWidth',2) % направление оси 0X

plot3(0,5,0,'>k','LineWidth',2) %направление оси 0Y

plot3(0,0,5,'^k','LineWidth',2) % направление оси 0Z

text(5,-0.5,0.8,'X') % подпись оси 0X

text(-0.5,5,0.8,'Y') % подпись оси 0X

text(-0.5,-1,5,'Z') % подпись оси 0Z

Как только появится графическое окно “Figure 1”, с помощью круговой стрелочки “Rotate3D” (cм. панель инструментов), разворачиваем плоскую картинку в объемную и разворачиваем изображение.

Рис. 1

Выводы: Синий вектор , зеленый вектор и красный вектор образуют правую тройку. Вектор перпендикулярен плоскости векторов и .

Изобразим параллелограмм, натянутый на векторы и .

Найдем длину вектора -длина вектора равна площади параллелограмма сторонами которого являются векторы и .

Изобразим плоскость параллелограмма:

Рис. 2.

% соединим штриховкой зеленый вектор – сторону параллелограмма

% и параллельную ей сторону параллелограмма

%каждый отрезок имеет начало в точке (x1, y1), конец в точке (x2,y2)

% смотрим на зеленый вектор-отрезок, задаем диапазон изменения

% начальных координат абсцисс x1

x1=0.1:0.1:1.9;

% y1 связан с x1 прямой y=x/2, поэтому

y1=x1/2;

% координаты (x2,y2) поучаются сдвигом (x1,y1) на вектор a

% (x2,y2)=(x1,y1)+a=(x1+1,y1+2)

% операция x1+1 осуществит прибавление единицы

% к каждому элементу массива x1

x2=x1+1; y2=y1+2;

line([x1; x2],[y1; y2],'LineWidth',4, 'Color',[0.8 0.1 0.7])

Получаем

Рис. 3.

Соеденив два куска программы получим:

Рис. 4

Чтобы изобразить плоскость параллелограмма, можно также воспользоваться встроенной функцией fill(). Ознакомьтесь с форматом входных аргументов в документации.

>> fill([0 2 3 1], [0 1 3 2], 'm')

Рис. 5

Упражнение 4. Вычислить площадь треугольника с помощью векторного произведения. Изобразить*** геометрический смысл.

Вычислить площадь треугольника с вершинами и Изобразить плоскость треугольника. Как соотносятся (алгебраически и геометрически) площадь треугольника и векторное произведение. Изобразить геометрический смысл задачи по аналогии с предыдущим упражнением.

Упражнение 5. Изучить понятие смешанного произведения. Задать три некомпланарных вектора. Свести их к общему началу. Построить на этих векторах параллелепипед и тетраэдр. Найти объем данных фигур, используя понятие смешанного произведения. Вывести формулу, связывающие эти объемы.

Отметим, что векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов (которого мы здесь не касались) наряду со скалярным произведением используется не только для вычисления площадей и объёмов, но является одним из основных инструментов для исследования прямых и плоскостей в пространстве (задач на составление уравнений прямых и плоскостей, взаимное расположение прямых и плоскостей и т.д.).

3. Контрольные вопросы.

Рассмотрим определиитель

Заменим 1-й столбец произвольными числами h_1, h_2,h₃:

.

Обосновать, доказать: почему, если вместо чисел h_1, h_2,h₃ взять элементы 2-го или 3-го столбцов определителя, получим нули

, ?

Может ли определитель 3-го порядка не быть числом?

Изменится ли определитель 3-го порядка, если в нем строки заменить столбцами и наоборот (проверьте!)?

Изменится ли определитель 3-го порядка, если в нем строки (или столбцы) поменять местами (проверьте!)?

Изменится ли определитель 3-го порядка, если в нем из одной строки вычесть другую строку (проверьте!)?

Изменится ли определитель 3-го порядка, если в нем из одного столбца вычесть другой столбец (проверьте!)?

Изменится ли определитель 3-го порядка, если в нем строку умножить на число 2 (проверьте!)?

Существует ли определитель для матрицы: ?

1. Векторное произведение двух векторов и его свойства.

2. Смешанное произведение трех векторов и его свойства.

3. Определение расстояния между векторами.