Общая схема исследования функции и построения ее графика

Одна из возможных схем исследования функции и построения ее графика разлагается на следующие этапы решения задачи.

Элементарное исследование

1. Найти область определения функции.

2. Найти точки разрыва функции. Их характер. Вертикальные асимптоты.

3. Исследовать функцию на симметричность (определить четность и нечетность функции) и периодичность.

4. Определить, если это не вызовет особых затруднений, точки пересечения графика функции с осями координат. Найти интервалы знакопостоянства.

5. Вычислить предельные значения функции в ее граничных точках.

6. Выяснить существование наклонных асимптот.

Исследование функции по первой производной

7. Найти решение уравнений Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

8. Критические точки, исследовать с помощью достаточного условия экстремума, определить вид экстремума. Вычислить значения функции в точках экстремума.

9. Найти интервалы монотонности функции.

Исследование функции по второй производной

10. Найти решение уравнений Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

11. Критические точки исследовать с помощью достаточного условия. Вычислить значения функции в точках перегиба.

12. Найти интервалы выпуклости вниз и вверх графика функции.

13. Построить график функции.

Если исследование проведено без ошибок, то результаты всех этапов должны согласовываться друг с другом.

График функции лучше всего строить в таком порядке:

1. Построить все асимптоты, если они есть.

2. Нанести на график характерные точки: точки пересечения с осями координат, точки, в которых есть экстремум, точки перегиба.

Построение проводить в интервалах непрерывности с учетом проведенных исследований.

Пример 13. Провести полное исследование функции Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru и построить ее график.

▲Исследование функции будем проводить, придерживаясь приведенной выше схемы.

I. Элементарное исследование

· Область определения функции. Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru . Точка разрыва: Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

· Исследуем функцию на симметричность (определить четность и нечетность функции) и периодичность.

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Функция общего вида.

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru . Функция не периодична.

· Выясним существование асимптот. В точке Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru функция имеет разрыв II рода, ибо,

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru ; Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru ,

в остальных точках она непрерывна. Прямая Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru является вертикальной асимптотой.

Найдем наклонные асимптоты Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Слева Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru

Уравнение наклонной асимптоты слева Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Справа Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru

Уравнение наклонной асимптоты справа Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

· Определим точки пересечения графика функции с координатными осями, найдем интервалы знакопостоянства функции.

Точки пересечения с осью Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru : Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Точки пересечения с осью Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru : Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Промежутки знакопостоянства

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru –1 Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru
Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru + Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru +

II. Исследование графика функции по первой производной.

Для нахождения участков монотонности и экстремальных точек найдем первую производную функции:

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru к. т. I.

Область определения функции разобьем на интервалы Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru и определим знак Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru в каждом из них (для удобства вычислений в каждом интервале выбираем фиксированную точку). Результаты исследования знака производной на интервалах между критическими точками (с учетом Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru ) с указанием поведения функции на этих интервалах занесем в таблицу:

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru –3 Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru –1 Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru
Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru + Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru
Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru

Так как функция в точке Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru определена и непрерывна и при переходе через нее Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке минимум, причем Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

III. Исследование графика функции по второй производной.

Для нахождения участков выпуклости вверх и вниз найдем вторую производную функции

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru к. т. II.

Область определения функции разобьем на интервалы Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru и определим знак Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru в каждом из них. Результат исследования знака функции Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru на указанных интервалах с указанием выпуклости вверх и вниз запишем в таблицу:

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru –1 Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru
Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru + Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru +
Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru

При переходе через точку Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru вторая производная меняет знак, следовательно, это точка перегиба функции, причем Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru . Точка Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru не является точкой перегиба.

Построение графика начнем с нанесения асимптот, точек пересечения с осями координат, экстремума, перегиба и фрагментов графика функции вблизи этих точек и асимптот.

В окончательном виде график изображен на следующем рисунке.

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru

Пример 14. Провести полное исследование функции Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru и построить ее график.

▲Исследование функции будем проводить, придерживаясь приведенной выше схемы.

I. Элементарное исследование

· Область определения функции. Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

· Исследуем функцию на симметричность (определить четность и нечетность функции) и периодичность.

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Функция общего вида.

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru . Функция не периодична.

· Выясним существование асимптот.

Вертикальных асимптот нет, так как нет точек разрыва.

Найдем наклонные асимптоты Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Слева Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru ,

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Уравнение наклонной асимптоты слева Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Справа Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru ,

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Уравнение наклонной асимптоты справа Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

· Определим точки пересечения графика функции с координатными осями, найдем интервалы знакопостоянства функции.

Точки пересечения с осью Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru : Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Точки пересечения с осью Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru : Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Промежутки знакопостоянства

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru
Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru + +

II. Исследование графика функции по первой производной.

Для нахождения участков монотонности и экстремальных точек найдем первую производную функции:

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru к. т. I.

Область определения функции разобьем на интервалы Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru и определим знак Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru в каждом из них (для удобства вычислений в каждом интервале выбираем фиксированную точку). Результаты исследования знака производной на интервалах между критическими точками (с учетом Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru ) с указанием поведения функции на этих интервалах занесем в таблицу:

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru
Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru + Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru + Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru +
Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru

Так как функция в точке Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru определена и непрерывна и при переходе через нее Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru меняет знак с плюса на минус, то в этой точке максимум, причем Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru . В точке Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru функция определена и непрерывна и при переходе через нее Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru меняет знак с минуса на плюс, следовательно, в этой точке минимум, причем Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

III. Исследование графика функции по второй производной.

Для нахождения участков выпуклости вверх и вниз найдем вторую производную функции

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru к. т. II.

Область определения функции разобьем на интервалы Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru , Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru и определим знак Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru в каждом из них. Результат исследования знака функции Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru на указанных интервалах с указанием выпуклости вверх и вниз запишем в таблицу:

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru –0.646 Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru 4.646 Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru
Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru + Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru +
Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru

При переходе через точки Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru вторая производная меняет знак, следовательно, это точки перегиба функции, причем

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru ,

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Точки перегиба: Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Построение графика начнем с нанесения асимптот, точек пересечения с осями координат, экстремума, перегиба и фрагментов графика функции вблизи этих точек и асимптот.

В окончательном виде график изображен на следующем рисунке.

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru

Пример 15. Провести полное исследование функции Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru и построить ее график.

▲Исследование функции будем проводить, придерживаясь приведенной выше схемы.

I. Элементарное исследование

· Область определения функции. Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

· Исследуем функцию на симметричность (определить четность и нечетность функции) и периодичность.

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Функция общего вида.

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru . Функция не периодична.

· Выясним существование асимптот.

Вертикальных асимптот нет, так как нет точек разрыва.

Найдем наклонные асимптоты Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Слева Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru . Слева наклонной асимптоты нет.

Справа Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru ,

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Справа горизонтальная асимптота: Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

· Определим точки пересечения графика функции с координатными осями, найдем интервалы знакопостоянства функции.

Точки пересечения с осью Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru : Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Точки пересечения с осью Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru : Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Промежутки знакопостоянства

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru
Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru +

II. Исследование графика функции по первой производной.

Для нахождения участков монотонности и экстремальных точек найдем первую производную функции:

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru к. т. I.

Область определения функции разобьем на интервалы Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru и определим знак Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru в каждом из них (для удобства вычислений в каждом интервале выбираем фиксированную точку). Результаты исследования знака производной на интервалах между критическими точками (с учетом Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru ) с указанием поведения функции на этих интервалах занесем в таблицу:

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru
Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru +
Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru

Так как функция в точке Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru определена и непрерывна и при переходе через нее Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru меняет знак с плюса на минус, то в этой точке максимум, причем Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

III. Исследование графика функции по второй производной.

Для нахождения участков выпуклости вверх и вниз найдем вторую производную функции

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru к. т. II.

Область определения функции разобьем на интервалы Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru и определим знак Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru в каждом из них. Результат исследования знака функции Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru на указанных интервалах с указанием выпуклости вверх и вниз запишем в таблицу:

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru
Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru +
Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru

При переходе через точку Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru вторая производная меняет знак, следовательно, это точка перегиба функции, причем Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru . Точка перегиба: Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Построение графика начнем с нанесения асимптот, точек пересечения с осями координат, экстремума, перегиба и фрагментов графика функции вблизи этих точек и асимптот.

В окончательном виде график изображен на следующем рисунке.

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru

Пример 16. Провести полное исследование функции Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru и построить ее график.

▲Исследование функции будем проводить, придерживаясь приведенной выше схемы.

I. Элементарное исследование

· Область определения функции Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru . Точка разрыва: Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

· Исследуем функцию на симметричность (определить четность и нечетность функции) и периодичность.

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Функция общего вида.

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru . Функция не периодична.

· Выясним существование асимптот. В точке Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru функция имеет разрыв II рода, ибо,

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru

в остальных точках она непрерывна. Прямая Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru является вертикальной асимптотой.

Найдем наклонные асимптоты Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Слева Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru ,

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Уравнение горизонтальной асимптоты слева: Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Справа Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Справа наклонной асимптоты нет.

· Определим точки пересечения графика функции с координатными осями, найдем интервалы знакопостоянства функции.

Точки пересечения с осью Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru : Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Точек пересечения с осью Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru нет.

Точки пересечения с осью Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru : Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Точка пересечения с осью Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru : Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Промежутки знакопостоянства

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru –1 Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru
Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru +

II. Исследование графика функции по первой производной.

Для нахождения участков монотонности и экстремальных точек найдем первую производную функции:

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru к. т. I.

Область определения функции разобьем на интервалы Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru и определим знак Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru в каждом из них (для удобства вычислений в каждом интервале выбираем фиксированную точку). Результаты исследования знака производной на интервалах между критическими точками (с учетом Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru ) с указанием поведения функции на этих интервалах занесем в таблицу:

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru –1 Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru –0.5 Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru
Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru +
Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru

Так как функция в точке Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru определена и непрерывна и при переходе через нее Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке минимум, причем Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

III. Исследование графика функции по второй производной.

Для нахождения участков выпуклости вверх и вниз найдем вторую производную функции

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru к. т. II нет.

Область определения функции разобьем на интервалы Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru и определим знак Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru в каждом из них. Результат исследования знака функции Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru на указанных интервалах с указанием выпуклости вверх и вниз запишем в таблицу:

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru –1 Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru
Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru +
Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru

Точек перегиба нет.

Построение графика начнем с нанесения асимптот, точек пересечения с осями координат, экстремума, перегиба и фрагментов графика функции вблизи этих точек и асимптот.

В окончательном виде график изображен на следующем рисунке.

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru

Пример 17. Провести полное исследование функции Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru и построить ее график.

▲Исследование функции будем проводить, придерживаясь приведенной выше схемы.

I. Элементарное исследование

· Область определения функции. Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

· Исследуем функцию на симметричность (определить четность и нечетность функции) и периодичность.

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Функция общего вида.

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru . Функция не периодична.

· Выясним существование асимптот. Вертикальная асимптота может существовать лишь на конечных границах области определения. Найдем

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Значит, прямая Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru – вертикальная асимптота.

Найдем

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Следовательно, прямая Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru – вертикальная асимптота.

Найдем наклонные асимптоты Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Слева Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru ,

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Уравнение горизонтальной асимптоты слева Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Справа Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru ,

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Уравнение горизонтальной асимптоты справа Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

· Определим точки пересечения графика функции с координатными осями, найдем интервалы знакопостоянства функции.

Точки пересечения с осью Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru :

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru

Точка пересечения с осью Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru : Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Точек пересечения с осью Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru нет.

Промежутки знакопостоянства

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru 2.533 Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru
Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru + Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru +

II. Исследование графика функции по первой производной.

Для нахождения участков монотонности и экстремальных точек найдем первую производную функции:

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru к. т. I нет.

Область определения функции разобьем на интервалы Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru и определим знак Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru в каждом из них (для удобства вычислений в каждом интервале выбираем фиксированную точку). Результаты исследования знака производной на интервалах между критическими точками (с учетом Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru ) с указанием поведения функции на этих интервалах занесем в таблицу:

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru
Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru + Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru +
Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru

Экстремумов нет.

III. Исследование графика функции по второй производной.

Для нахождения участков выпуклости вверх и вниз найдем вторую производную функции

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru ;

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru .

К. т. II нет.

Область определения функции разобьем на интервалы Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru и определим знак Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru в каждом из них. Результат исследования знака функции Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru на указанных интервалах с указанием выпуклости вверх и вниз запишем в таблицу:

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru
Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru + Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru
Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru

Точек перегиба нет.

Построение графика начнем с нанесения асимптот, точек пересечения с осями координат, экстремума, перегиба и фрагментов графика функции вблизи этих точек и асимптот.

В окончательном виде график изображен на следующем рисунке.

Общая схема исследования функции и построения ее графика - student2.ru

Наши рекомендации