Общая схема исследования функции и построение ее графика

Исследование функции и построение её графика целесообразно проводить по следующей схеме.

1. Найти область определения функции. Установить точки разрыва и интервалы непрерывности функции.

2. Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки знакопостоянства функции.

4. Найти точки экстремума функции, вычислить значение функции в этих точках. Установить интервалы монотонности функции.

5. Найти точки перегиба графика функции, вычислить значения функции в этих точках. Установить интервалы вогнутости и выпуклости функции.

6. Найти асимптоты графика функции. Вычислить предельные значения функции в точках, граничных для ее области существования.

7. Построить график функции, используя все полученные результаты исследования. Если их окажется недостаточно, то следует найти ещё несколько точек графика функции, исходя из её уравнения.

Пример. Исследовать функцию у = Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru и построить её график.

Решение.

1. Функция у = Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru определена на всей числовой оси, кроме точки x = 0.

В этой точке функция имеет бесконечный разрыв: при x → -0 и при x → +0 lim у = +∞. Во всех других точках числовой оси функция непрерывна.

2. Исследуем функцию на четность, нечетность, периодичность.

у (-х) = Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru = Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru ;

у (-х) ≠ у (х) и у (-х) ≠ - у (х) – функция не является ни четной, ни нечетной.

Функция не является периодической.

3. График функции пересекает ось Ох в точке (1;0) и не пересекает оси Оу.

Если х Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru (-∞; 0), у > 0; если х Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru (0; 1), у > 0; если х Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru (1; -∞), у < 0.

4. у' = - Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru ; у' = 0 в точке х = - Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru , которая является критической; у' не существует в точке х = 0, но эта точка не является критической, так как она является точкой разрыва.

Исследуем критическую точку по знаку у'.

Если х Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru (-∞; - Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru ), у' < 0 функция убывает; х Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru (- Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru ; 0), у' > 0 функция возрастает. Значит х = - Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru является точкой минимума: уmin = Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru .

На промежутке (0; -∞) у' < 0, следовательно функция убывает.

Составим таблицу

х (-∞; - Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru ) - Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru (- Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru ; 0) (0; -∞)
у' - + не сущ -
у Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru не сущ Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru

5. у'' = Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru ; у'' ≠ 0; у'' не существует при х = 0, но это значение не может быть абсциссой точки перегиба, так как является точкой разрыва. Следовательно, график функции не имеет точек перегиба.

Во всей области определения у'' > 0, поэтому её график всюду обращен выпуклостью вниз.

6. а) Прямая х = 0 (ось ординат) является вертикальной асимптотой графика функции, так как она имеет бесконечный разрыв;

б) k = Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru , k = Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru = - Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru ;

b = Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru (у - k х), b = Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru ( Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru + Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru х) = Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru = 0.

Следовательно, прямая у = - Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru является невертикальной асимптотой.

7. Используя полученные данные, строим график функции у = Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru .

Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru

Рис. 12.

٭ ٭

٭

176. Доказать, что функция у = х5 + 2х3 + х возрастает, а функция у = 1 – 2х3 убывает на множестве всех действительных чисел.

177. Определить промежутки монотонности и точки экстремума функции:

а) у = (2 – х)2(2х + 1)3; с) у = Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru ;

b) у = х – Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru ; d) у = Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru .

178. Определить промежутки монотонности и точки экстремума функции:

а) у = х(lnх – 1); b) у = ех – х + 1.

179. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанном интервале:

а) у = х2 – 6х + 8, [1; 4]; с) у = Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru + х, [0,1; 10];

b) у = 3х4 + 4х3 + 1, [-2; 1]; d) у = хех+1, [-2; 0].

180. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости (вогнутости) функции:

а) у = х4 – 2х2 + 1; b) у = Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru ; с) у = х – Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru .

181. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости (вогнутости) функции:

а) у = lnх + Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru ; b) у = е – 4ех + 1.

182. Найти асимптоты графика функции:

а) у = 2х3 – 9х2 + 1; b) у = Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru ; с) у = хln(1 + Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru ).

183. Исследовать функцию и построить её график:

а) у = 3х4 + х2 – 1; b) у = х5 – 2х3 + х.

184. Исследовать функцию и построить её график:

а) у = (4x2 – 1)3; b) у = 2х(х + 1)2.

185. Исследовать функцию и построить её график:

а) у = Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru ; b) у = Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru .

186. Исследовать функцию и построить её график:

а) у = Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru ; b) у = Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru .

187. Исследовать функцию и построить её график:

а) у = (х – 3) Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru ; b) у = Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru .

188. Исследовать функцию и построить её график:

а) у = х Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru ; b) у = Общая схема исследования функции и построение ее графика - student2.ru .

189. Исследовать функцию и построить её график:

а) у = х lnx; b) у = ln (1 + x2).

c) у = х + sin х; d) у = sin х + cos x.

§3.Дифференциал функции

Наши рекомендации