Законы сложения и умножения чисел
Переместительный | a + b = b + a; ab = ba |
Сочетательный | (a + b) + c = a + (b + c); (ab) c=a (bc) |
Распределительный | (a + b)c=ac + bc |
Степени и корни
Определения:
Действия со степенями. Основные формулы.
Действия с корнями:
(a,b>0): .
Формулы сокращенного умножения
1) (а + в)² =а²+2ав+в² - квадрат суммы;
2) (а - в)² =а² -2ав+в² - квадрат разности;
3) (а + в)³ =а³+3а²в+3ав² +а³ - куб суммы;
4) (а - в)³ =а³-3а²в+3ав² - в³ - куб разности;
5) а² - в² =(а-в) (а+в) - разность - квадратов;
6) а³ - в³ =(а – в) (а²+ав +в²) - разность кубов;
7) а³ + в³ =(а+в) (а²-ав+в²) - сумма кубов;
8) (а+в+с)² =а²+в²+с²+2ав+2ас+2вс - квадрат трехчлена;
9) .
Уравнения
Линейное уравнение:
Решение: .
Система линейных уравнений:
Обозначения:
1) одно решение:
2) бесконечно много решений.
3) нет решений.
Квадратное уравнение:
Обозначение: - дискриминант.
1) два решения: .
2) одно решение: .
3) нет решений.
Разложение квадратного трехчлена на множители:
.
Теорема Виета:
Выделение полного квадрата: .
Биквадратное уравнение: заменой сводится к квадратному уравнению: .
Неравенства
Свойства неравенств:
Линейное неравенство:
ax > b, .
Решение:
,
Квадратное неравенство:
Обозначения: - корни квадратного уравнения
При
Решение:
1)
2) -любое число
3) ,
4) нет решений.
Модули
Свойство модулей:
Логарифмы
Логарифм числа b по основанию a: .
Десятичный логарифм:
Натуральный логарифм:
Основное логарифмическое тождество: .
Свойства логарифмов: (a, b, c >0).
Логарифмические и показательные уравнения и неравенства обычно решаются путем приведения всех выражений, содержащих логарифмические и показательные функции, к одному основанию и последующей замены неизвестной, сводящей задачу к решению алгебраического уравнения или неравенства.
При решении неравенства используют свойства:
Прогрессии
Определения
Арифметическая прогрессия- последовательность чисел , где каждый последующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа d (разность прогрессии).
Геометрическая прогрессия - последовательность чисел , где каждый последующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число q (знаменатель прогрессии).
Формулы членов прогрессии
Формулы разности и знаменателя
Формулы суммы n первых членов прогрессии
Формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии
Тригонометрия
Основные тригонометрические функции
1 радиан
Простейшие соотношения:
1) Основное тригонометрическое тождество:
2) Так как , то
Свойства тригонометрических функций:
Знаки тригонометрических функций:
Угол | 1 четверть | 2 четверть | 3 четверть | 4 четверть |
+ | + | - | - | |
+ | - | - | + | |
+ | - | + | - | |
+ | - | + | - |
Некоторые значения:
Основные тригонометрические формулы
Формулы приведения
Функция | Угол | |||
sin | ||||
cos | ||||
tg | ||||
ctg |
Связь между тригонометрическими функциями одного аргумента
Функция | Аргумент | |||
Знак выбирается в зависимости от четверти нахождения угла .
Формулы сложения функций:
Формулы суммы и разности углов: