Таблицы умножения и сложения

Запишем таблицы умножения и сложения для двоичной системы (табл. 5 и 6). Отметим, что таблица сложения сложнее таблицы умножения.

Таблица сложения двоичных чисел

+
		102

Таблица умножения двоичных чисел

×

Натуральные двоичные числа

Выпишем первые натуральные двоичные числа от 0 до 16. Цифровую запись следующего числа можно получить, используя основное свойство натуральных чисел: следующее число больше предыдущего на 1.

Поэтому для получения следующего двоичного числа после 1₂ прибавим к 1₂ число 1₂, получим 1₂ + 1₂ = 10₂, т. е. «десять». Отсюда имеем: 2₁₀ = 1₂ + 1₂ = 10₂.

Столбиком посчитаем следующие по порядку двоичные числа, т. е. прибавим 1₂ к 10₂ , затем к 11₂ и т. д.

Первые двоичные натуральные числа от 0 до 16

Десятичное число	Двоичное число
110
210	102
310	112
410	1002
510	1012
610	1102
710	1112
810	10002
910	10012
1010	10102
1110	10112
1210	11002
1310	11012
1410	11102
1510	11112
1610	100002

Перевод числа из двоичной системы в десятичную

Перевести любое двоичное число в десятичное можно по формуле

Примеры.

1. 1101₂=1∙2³+1∙2²+0∙2¹+1∙2⁰ = 13₁₀.

2. 101010₂ =1∙2⁵ + 1∙2³ + 1∙2¹= 42₁₀.

3. 1011000₂ = 1∙2⁶+1∙2⁴+1∙2³ = 88₁₀.

4. 11,01=1∙2¹+1∙2⁰+0∙2^-1+1∙2^-2 = 3,25₁₀.

Перевод числа из десятичной системы в двоичную

1. Делим число на основание системы счисления. Запоминаем остаток.

2. Снова делим частное на основание системы. Запоминаем остаток.

3. Продолжаем этот процесс до тех пор, пока в частном не получится 1.

4. Записываем последовательно последнее частное (1) и все остатки в обратном порядке.

Пример. Переведем число 36₁₀ в двоичную систему.

36 : 2 = 18. Остаток 0.

18 : 2 = 9. Остаток 0.

9 : 2=4. Остаток 1.

4 : 2=2. Остаток 0.

2 : 2=1. Остаток 0.

36₁₀= 100100₂.

ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Шестнадцатеричная система счисления имеет алфавит, состоящий из 16 цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

При записи числа в шестнадцатеричной системе для записи цифр обозначающих числа 10, 11, 12. 13, 14. 15 используются соответственно буквы А, В, С, D, E, F.

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы в десятичную

Перевести любое шестнадцатеричное число в десятичное можно по уже известной формуле

Примеры.

1. АЕ07₁₆=10∙16³ +14∙16² +0∙16¹ +7∙16⁰=44551₁₀.

2. 100₁₆=1∙16² +0∙16¹ +0∙16⁰ =256₁₀.

3. 58₁₆=5∙16¹+8∙16⁰=.88₁₀.

4. 2А₁₆=2∙16¹+10∙16⁰=42₁₀.

5. D₁₆ = 13₁₀.

Перевод числа из десятичной системы в шестнадцатеричную осуществляется также, как в двоичную.

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно

Перевести любое шестнадцатеричное число в двоичное можно следующим образом. Каждая цифра шестнадцатеричной записи числа записывается четырехзначным двоичным числом — тетрадой. После этого нули, стоящие слева, можно отбросить.

016 = 00002	416 = 01002	816 = 10002	C16 = 11002
116 = 00012	516 = 01012	916 = 10012	D16 = 11012
216 = 00102	616 = 01102	A16 = 10102	E16 = 11102
316 = 00112	716 = 01112	B16 = 10112	F16 = 11112

1) D = 11012.

2) 2A = 0010 10102 = 1010102.

3) 5816 = 0101 10002 = 10110002.

И наоборот, перевести любое двоичное число в шестнадцатеричное можно аналогичным образом. Каждые четыре двоичные цифры, считая справа налево, записываются одной шестнадцатеричной цифрой. Эти цифры располагаются также справа налево.

Примеры.

1. 1101₂ = D.

2. 101010₂ = 10 1010₂ = 2A.

3. 1011000₂ = 101 1000₂ = 58₁₆.

ВОСЬМЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Восьмеричная система счисления имеет алфавит, состоящий из 8 цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Перевод числа из десятичной системы в восьмеричную и обратно осуществляется по аналогии с переводом в двоичную / из двоичной.

Перевод чисел из восьмеричной системы в двоичную и обратно

Каждая цифра восьмеричной записи числа записывается трехзначным двоичным числом — триадой.

08 = 0002	48 = 1002
18 = 0012	58 = 1012
28 = 0102	68 = 1102
38 = 0112	78 = 1112

Примеры.

2563₈ = 010 101 110 011₂ =10101110011₂.

1001101₂ = 001 001 101₂ = 115₈.