Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел производят по правилам сложения, вычитания и умножения многочленов.
Деление комплексных чисел
Деление комплексных чисел определяется формулой
Тригонометрическая форма записи комплексного числа
Число изображается на плоскости ХОY точкой М с координатами (а, b) или вектором, начало которого находится в точке О (0,0), а конец в точке М (а, b). Длина вектора находится модулем комплексного числа
z
и обозначается , так что . Угол , образованный вектором и осью ОХ, называется аргументом комплексного числа z и обозначается ; он определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого кратного :
, где есть главное значение , определяемое условиями (иногда ), причем
(22.1)
Комплексное число можно записать в тригонометрической форме. Из ОАМ имеем:
(22.2)
Два комплексных числа и , записанные в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы либо равны, либо отличаются на величину кратную :
(22.3)
Действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме
Над числами, записанными в тригонометрической форме, удобно выполнять следующие действия:
Умножение комплексных чисел
Если воспользоваться тригонометрической формой , то произведение можно записать в виде:
(22.4)
таким образом:
,
Т.е.
.
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются отсюда при обратном действии делении
(22.5)
Возведение в степень комплексного числа
Из формулы (4) следует, что если n целое положительное число, то
(22.6)
Эта формула называется формулой Муавра, она показывает, что при возведении комплексного числа в целую положительную степень, модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
Извлечение корня из комплексного числа
Корнем n-ой степени из комплексного числа называется такое число, n-я степень которого равна подкоренному числу.
если .
Так как у равных комплексных чисел, модули должны быть равны, а аргументы отличаться на число кратное , то, ;
, где k – любое целое число, - арифметическое значение корня, следовательно:
(22.7)
Придавая k значения 0, 1, 2, … , n-1, получим n различных значений корня, для других значений k, аргументы будут отличаться от полученных на число кратное и следовательно получатся значения корня, совпадающие с рассмотренными.
Показательная форма комплексного числа
Пусть дано комплексное число в тригонометрической форме
.
По формуле Эйлера
(22.8)
Следовательно, всякое комплексное число можно представить в показательной форме.
(22.9)
Действия над комплексными числами в показательной форме
Пусть ; , тогда
; ;
;
, где .
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
5. Векторы, основные определения, понятия, действия над ними.
Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой A и конечной точкой B ( который можно перемещать параллельно самому себе). Обозначается или просто .
Длиной ( или модулем) вектора называется число, равное длине отрезка, изображающего вектор.
Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают и обозначают