Влияние немонохроматичности света.

Источник света – точечный (нитевидный). Свет есть смесь излучения с разными длинами волн.

Пусть свет есть совокупность двух длин волн. Свет разной частоты – волны некогерентные и не интерферируют, поэтому, интенсивность есть сумма интенсивностей, возникающих при интерференции первой и второй волн.

С удалением от центра картина начинает размываться.

Интерференционная картина имеет характер световых биений.

Принцип Гюйгенса-Френеля.

Каждый элемент поверхности, достигнутый в данный момент световой волной, является центром одной из элементарных волн, огибающая которых становится волновой поверхностью в следующий момент времени. При этом обратные элементарные волны во внимание не принимались.

Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, волновое возмущение в точке P, создаваемое источником P₀, можно рассматривать как результат интерференции вторичных элементарных волн, излучаемых каждым элементом dS некоторой волновой поверхности S с радиусом r₀. Амплитуда вторичных волн пропорциональна амплитуде первичной волны, приходящей в точку Q, площади элемента dS и убывает с возрастанием угла между нормалью к поверхности S и направлением излучения вторичной волны на точку P. Амплитуда E_Q первичной волны в точке Q на поверхности S даётся выражением , где A - амплитуда волны на расстоянии единицы длины от источника, k - волновой вектор, - циклическая частота. Вклад в волновое возмущение в точке P, вносимый элементом поверхности dS, запишется в виде

где - расстояние от точки Q до P, - функция, описывающая зависимость амплитуды вторичных волн от угла . Полное поле в точке наблюдения P представляется интегралом

Если за элемент поверхности взять площадь кольца, вырезаемого из волнового фронта S двумя бесконечно близкими концентрическими сферами с центрами в точке наблюдения P, и выразить dS через приращение , то получим

Верхний предел интеграла R_max=R+2r₀. Функция теперь рассматривается как функция от . Точное вычисление невозможно без знания , однако Френель дал метод приближённого его вычисления, используя разбиение поверхности S на так называемые зоны Френеля. Вид функции в принципе Гюйгенса-Френеля остается неопределенным, но при . Множитель i означает, что фазы вторичных волн отличаются на от фазы первичной волны в точке Q. Получаем .

Зоны Френеля.

Участки, на которые разбивают поверхность фронта световой волны для упрощения вычислений при определении амплитуды волны в заданной точке пространства. Метод зон Френеля используется при рассмотрении задач о дифракции волн в соответствии с Гюйгенса - Френеля принципом. Согласно принципу Гюйгенса - Френеля, действие источника заменяют действием воображаемых источников, расположенных на вспомогательной поверхности, в качестве которой выбирают поверхность фронта сферической волны.

Эту поверхность разбивают на кольцевые зоны так, чтобы расстояния от краёв зоны до точки наблюдения отличались на /2. Построенные таким способом равновеликие участки поверхности называются зонами Френеля.

Радиус m-й зоны в случае дифракции на круглых отверстиях и экранах определяется следующим приближенным выражением (при m <<b) где а и b - соответственно расстояния от источника и от точки наблюдения до отверстия (экрана).

Если есть источник сферических волн, и - точка наблюдения, то амплитуду электромагнитной волны в точке можно вычислить по формуле .

Отверстие, из которого идет свет, мы измеряем в зонах Френеля. Пусть при наблюдении из точки , отверстие открывает зон Френеля. Тогда амплитуда электромагнитных колебаний в точке рвана сумме амплитуд колебаний, возбуждаемых в точке каждой из зон Френеля в отдельности. Если учесть, что фазы колебаний, возбуждаемых соседними зонами Френеля, различаются на , амплитуду результирующего колебания в точке можно представить в виде .

Слагаемые отличаются на множитель , который является плавно спадающей функцией, значит, не будет грубой ошибкой, если мы запишем равенство . Тогда .

Рассмотрим частный случай, когда все открыто (отверстие бесконечно большого радиуса). В этом случае .

.

- амплитуда от одной зоны Френеля. Получается, что, когда все открыто, амплитуда в точке в два раза меньше чем, если бы свет проходил через маленькую дырочку, совпадающую с первой зоной Френеля.

Когда нет препятствия, амплитуду в точке мы можем посчитать двумя способами и .

Приравняв их, мы найдем выражение для неизвестного коэффициента для первой зоны Френеля.

Спираль Френеля.

Величины амплитуд от зон Френеля уменьшаются с ростом номера зоны Френеля.

,

, …

Нарисуем это все на векторной диаграмме. Все фазы будем отсчитывать от некоторого начального (горизонтального) направления. Пусть с нулевой фазой приходит в точку вона от центра I зоны Френеля. Теперь разобьем I зону Френеля на мелкие полоски, и будем считать, что от каждой полоски в точку будут приходить волны с равной фазой.

Суммарный вектор от всей I зоны Френеля направлен вверх, т.к. . Разность фаз векторов от центра и от края I зоны Френеля равна . У любой зоны Френеля разность расстояний от краев зоны до точки равна , следовательно, разность фаз векторов от краев зоны равна .

Векторная диаграмма от первой зоны Френеля имеет вид полуокружности (суммарный вектор направлен вверх).

Векторная диаграмма от второй зоны Френеля имеет вид полуокружности (суммарный вектор направлен вниз). От третьей зоны вектор направлен вверх, и т.д. Амплитуды, создаваемые отдельными зонами уменьшаются с ростом номера зоны, поэтому длины суммарных векторов от каждой зоны на фазовой плоскости будут уменьшаться.

В пределе, при стремлении ширины кольцевых зон к нулю векторная диаграмма примет вид спирали, закручивающейся к точке .

Хорошо видно, почему, когда все открыто, амплитуда в точке в два раза меньше чем, если бы свет проходил через маленькую дырочку, совпадающую с первой зоной Френеля.

Ниже изображены частные случаи:

1) Когда открыты две первые зоны Френеля, и когда открыты три первые зоны Френеля.

2) Когда экраном закрыта первая зона Френеля, и когда закрыты две первые зоны Френеля.

Получается, что чем больше экран, тем меньше интенсивность в точке , но совсем темно будет только в случае, когда экран бесконечно большой.

Если экран будет представлять собой чередующиеся темные и светлые кольца (фазовые пластинки), шириной в зоны

Френеля, будут складываться только сонаправленные вектора. Таким образом, интенсивность в точке получается очень высокая. Этот экран будет работать как линза – будет собирать свет в точке .

Еще большего эффекта можно добиться, если мы не будем закрывать четные или нечетные зоны Френеля, а сделаем эти зоны толще – создадим оптическую разность хода, равную половине длины воны. Тогда пластинка будет суммировать все вектора. Зонные пластинки, у которых не закрыты, а утолщены зоны Френеля, называются фазовые пластинки. Это единственный способ делать «линзы» для рентгеновских волн, т.к. коэффициент преломления для рентгеновских волн с точностью до четвертого знака равен единице.

Метод Френеля удобен для расчетов, но его можно применять лишь в случае, когда задача обладает определенной симметрией.

Размеры зон Френеля.

Пусть есть круглое отверстие, пропускающее свет от точечного источника. И мы хотим узнать, сколько в этой дырочке помещается зон Френеля. Пусть в точке находится точечный источник света. Точка - точка наблюдения. Из точки и точки проводим сферы через края этой дырочки.

Чтобы узнать число открытых зон Френеля мы должны найти разность расстояний и поделить на половину длины волны. Из построения видно, что мы должны поделить на .

Аналогично для .

Вернемся к спирали Френеля. . Меняем (экран можно передвигать). увеличиваем, количество зон Френеля уменьшается, уменьшаем , количество зон Френеля увеличивается. Максимум будет, когда открыта одна зона Френеля.

Минимум, когда две зоны Френеля, максимум, когда три зоны и т.д.

Запишем условия максимумов.