I. Матрицы и операции над ними

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГОУ ВПО «Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова»

Экономический факультет

УТВЕРЖДАЮ

_____________________

«___» ___________2012г.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ СТУДЕНТАМ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО КУРСУ

«Линейная алгебра»

Направление подготовки (специальности) экономика

Форма обучения

заочная

Чебоксары

I. Матрицы и операции над ними

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Обозначения: А – матрица, I. Матрицы и операции над ними - student2.ru - элемент матрицы, I. Матрицы и операции над ними - student2.ru номер строки, в которой стоит данный элемент, I. Матрицы и операции над ними - student2.ru номер соответствующего столбца; m – число строк матрицы, n – число ее столбцов.

Матрица называется квадратной, если m = n. Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы.

Матрицы одинаковой размерности называются равными, если у них соответственно равны элементы, стоящие на одинаковых местах.

Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны 0.

Квадратная матрица называется единичной, если элементы, стоящие на ее главной диагонали, равны 1, а остальные равны 0.

Линейные операции над матрицами

Суммой матриц А и В одинаковой размерности m I. Матрицы и операции над ними - student2.ru n называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц А и В, стоящих на тех же местах: I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

Пример 1. Найти сумму матриц I. Матрицы и операции над ними - student2.ru и I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Решение.

Вычислим элементы матрицы С = А + В, складывая элементы исходных матриц, стоящие на одинаковых местах:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

Следовательно, I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число.

Пример 2. Найти матрицу 5А – 2В, если

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Решение.

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Итак, 5А – 2В I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Перемножение матриц

Произведением матрицы А размерности m I. Матрицы и операции над ними - student2.ru p и матрицы В размерности I. Матрицы и операции над ними - student2.ruназывается матрица С размерности I. Матрицы и операции над ними - student2.ru , каждый элемент которой I. Матрицы и операции над ними - student2.ru определяется формулой: I. Матрицы и операции над ними - student2.ru Таким образом, элемент I. Матрицы и операции над ними - student2.ru представляет собой сумму произведений элементов i-й cтроки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

Операция перемножения матриц некоммутативна, т.е. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru Действи-тельно, если существует произведение АВ, то ВА может вообще не существовать из-за несовпадения размерностей. Если существуют и АВ, и ВА, то они могут иметь разные размерности (если I. Матрицы и операции над ними - student2.ru ).

Для квадратных матриц одного порядка произведения АВ и ВА существуют и имеют одинаковую размерность, но их соответствующие элементы в общем случае не равны.

Пример 3. Выяснить, можно ли умножить друг на друга матрицы

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru и I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Если произведение существует, вычислить его.

Решение.

Сравним размерности матриц А и В: A[3×2], B[2×2]. Следовательно, I. Матрицы и операции над ними - student2.ru поэтому произведение АВ[3×2] существует, а произведение ВА – нет.

Найдем элементы АВ:

(ab)11 = 0 · 5 + 3 · 7 = 21; (ab)12 = 0 · 6 + 3 · 8 = 24; (ab)21 = 4 · 5 – 2 · 7 = 6;

(ab)22 = 4 · 6 – 2 · 8 = 8; (ab)31 = 1 · 5 – 1 · 7 = -2; (ab)32 = 1 · 6 – 1 · 8 = -2.

Таким образом, I. Матрицы и операции над ними - student2.ru , ВА не существует.

Пример 4. Найти АВ и ВА, если

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Решение.

Проверим возможность перемножения матриц, определив их размерность.

A[2×4], B[4×2]. Следовательно, n = l = 4, m = k = 2, поэтому матрицы АВ и ВА существуют, причем АВ[2×2], BA[4×4].

Для вычисления элементов матрицы С = АВ элементы строк матрицы А умножаются на соответствующие элементы столбцов матрицы В:

с11 = 2 · 2 + (-2)(-1) + 1 · 1 + 0 · 2 = 9

(сумма произведений элементов первой строки А на элементы первого столбца В; первый индекс вычисляемого элемента задает номер строки А, второй индекс – номер столбца В);

с12 = 2 · 2 + (-2) · 0 + 1 · 1 + 0 · 4 = 5;

с21 = -3 · 3 + 1 · (-1) + (-1) · 1 + 1 · 2 = -9;

с22 = -3 · 2 + 1 · 0 + (-1_ · 1 + 1 · 4 = -3.

Следовательно,

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

При вычислении элементов матрицы D = BA элементы строк В умножаются на элементы столбцов А:

d11 = 3 · 2 + 2 · (-3) = 0; d12 = 3 · (-2) + 2 · 1 = -4; d13 = 3 · 1 + 2 · (-1) = 1;

d14 = 3 · 0 + 2 · 1 = 2; d21 = -1 · 2 + 0 · (-3) = -2; d22 = -1 · (-2) + 0 · 1 = 2;

d23 = -1 · 1 + 0 · (-1) = -1; d24 = -1 · 0 + 0 · 1 = 0; d31 = 1 · 2 + 1 · (-3) = -1;

d32 = 1 · (-2) + 1 · 1 = -1; d33 = 1 · 1 + 1 · (-1) = 0; d34 = 1 · 0 + 1 · 1 = 1;

d41 = 2 · 2 + 4 · (-3) = -8; d42 = 2 · (-2) + 4 · 1 = 0; d43 = 2 · 1 + 4 · (-1) = -2;

d44 = 2 · 0 + 4 · 1 = 4.

Таким образом,

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Определители

Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали.

Пример 5.

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

Для того чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников. Оно заключается в следующем: элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются так:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru образуя два треугольника, симметричных относительно главной диагонали. Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «-», располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали: I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

Пример 6.

Вычислить определитель

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Решение.

Вычислим определитель 3-го порядка, используя его определение:

Δ = 2·0·(-1) + (-3)·(-4)·2 + 5·1·1 - 2·0·5 -1·(-4)·2 – (-1)·1·(-3) =

= 0 + 24 + 5 – 0 + 8 – 3 = 34.

Пред тем, как перечислить основные свойства определителей, приведем определение понятия транспонирования матрицы.

Транспонированием матрицы называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате получается матрица А′, называемая транспонированнойпо отношению к матрице А, элементы которой связаны с элементами А соотношением a′ij = aji .

Основные свойства определителей

1. Определитель не изменяется при транспонировании, т.е.

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

2. При умножении элементов строки определителя на некоторое число весь определитель умножается на это число, т.е.

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

3. Определитель, имеющий нулевую строку, равен нулю:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

4. Определитель, имеющий две равные строки, равен нулю:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

5. Определитель, две строки которого пропорциональны, равен нулю:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

6. При перестановке двух строк определителя он умножается на –1:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

7. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

8. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

Разложение определителя по строке

Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в которых стоит выбранный элемент.

Обозначение: I. Матрицы и операции над ними - student2.ru выбранный элемент определителя, I. Матрицы и операции над ними - student2.ru его минор.

Пример 7.

Для I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

Алгебраическим дополнением I. Матрицы и операции над ними - student2.ru элемента определителя называется его минор, если сумма индексов данного элемента i+j есть число четное, или число, противоположное минору, если i+j нечетно, т.е. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

При этом справедливо следующее утверждение: определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е.

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru где i=1,2,3.

Таким образом, для вычисления определителя достаточно найти алгебраические дополнения к элементам какой-либо строки или столбца и вычислить сумму их произведений на соответствующие элементы определителя.

Пример 8.

Вычислим определитель из примера 6 с помощью разложения по строке. Для удобства вычисления выберем 2-ю строку, содержащую нулевой элемент (а22 = 0), поскольку при этом нет необходимости находить А22, так как произведение а22 А22 = 0. Итак,

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

(напомним, что определитель второго порядка, входящий в алгебраическое дополнение Aij, получается вычеркиванием из исходного определителя i-й строки и j-го столбца).

Тогда Δ = а21 А21 + а23 А23 = 1·2 + (-4)(-8) = 34.

Определители более высоких порядков

Определитель n-го порядка

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

есть сумма n! членов I. Матрицы и операции над ними - student2.ru каждый из которых соответствует одному из n! упорядоченных множеств I. Матрицы и операции над ними - student2.ru полученных r попар-ными перестановками элементов из множества 1,2,…,n.

Свойства определителей 3-го порядка справедливы и для определителей n-го порядка.

На практике определители высоких порядков вычисляют с помощью разложения по строке или столбцу. Это позволяет понизить порядок вычисляемых определителей и в конечном счете свести задачу к нахождению определителей 3-го порядка.

Пример 9.

Вычислить определитель 4-го порядка

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Решение.

Преобразуем определитель так, чтобы три из четырех элементов какой-либо строки или столбца стали равными нулю. Для этого воспользуемся свойством 8. Его особенно удобно применять, если в определителе существует элемент, равный ±1. Выберем в качестве такого элемента а13 = 1 и с его помощью обратим все остальные элементы 3-го столбца в нуль. С этой целью:

а) к элементам 2-й строки прибавим соответствующие элементы 1-й строки;

б) из элементов 3-й строки вычтем элементы 1-й строки, умноженные на 2;

в) из элементов 4-й строки вычтем элементы 1-й строки

(напомним, что при этом величина определителя не изменится). Тогда

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Разложим полученный определитель по 3-му столбцу:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Вычтем из элементов 1-й строки нового определителя удвоенные элементы 2-й строки:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

и разложим этот определитель по 1-й строке:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

Обратная матрица

Квадратная матрица А называется вырожденной, если I. Матрицы и операции над ними - student2.ru , и невырожденной, если I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если АВ = ВА = Е. При этом В обозначается I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была невырожденной. Тогда

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru ,

то есть ее элементами являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы А, деленные на ее определитель.

Пример 10.

Найти обратную матрицу для матрицы

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Решение.

Вычислим определитель матрицы А разложением по первому столбцу:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Следовательно, обратная матрица для матрицы А существует.

Найдем алгебраические дополнения а элементам матрицы А:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

Значит,

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Ранг матрицы

Минором порядка k матрицы А называется определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении любых k строк и k столбцов данной матрицы. Таким образом, каждый элемент матрицы является ее минором 1-го порядка.

Ранг матрицы – это порядок ее наибольшего ненулевого минора (обозначения: r(A), R(A), Rang A).

Пример 11.

Определить ранг матрицы

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Решение.

Единственным минором максимального (3-го) порядка для матрицы А является ее определитель. Если ΔА ≠ 0, r(A) = 3; если ΔА = 0, r(A) < 3.

Найдем ΔА разложением по первой строке:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

Следовательно, r(A) < 3. Поскольку матрица А содержит ненулевые элементы, r(A) > 0. Значит, r(A) = 1 или r(A) = 2. Если найдется минор 2-го порядка, не равный нулю, то r(A) = 2.

Вычислим минор из элементов, стоящих на пересечении двух первых строк и двух первых столбцов:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

Для матриц большой размерности непосредственное вычисление всех миноров затруднительно. Поэтому в этом случае можно преобразовать матрицу к так называемому треугольному виду (когда элементы, стоящие ниже I. Матрицы и операции над ними - student2.ru равны 0), воспользовавшись операциями, не изменяющими ранг матрицы (эквивалентными преобразованиями). К ним относятся:

1) транспонирование;

2) умножение строки на ненулевое число;

3) перестановка строк;

4) прибавление к элементам данной строки элементов любой другой строки, умноженных на ненулевое число;

5) вычеркивание нулевой строки.

Действительно, любая из этих операций переводит нулевые миноры в нулевые, а ненулевые – в ненулевые. Матрица, полученная в результате, не равна исходной, но имеет тот же ранг.

Пример 12.

Определить ранг матрицы

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Решение.

У матрицы А существуют миноры до 4-го порядка включительно, поэтому

r(A) ≤ 4. Разумеется, непосредственное вычисление всех миноров 4-го, 3-го и т.д. порядка потребовало бы слишком много времени. Поэтому, используя элементарные преобразования, приведем матрицу А к треугольному виду. Поменяем местами 1-ю и 2-ю строки, чтобы элемент а11 стал равным 1:

А ~ I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Прибавим к третьей строке первую, ко второй – удвоенную первую, к четвертой – первую, умноженную на 3. Тогда все элементы 1-го столбца, кроме а11, окажутся равными нулю:

А ~ I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Вычтем вторую строку полученной матрицы из третьей и четвертой строк:

А ~ I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

и вычеркнем нулевые строки:

А ~ I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Итак, ранг матрицы А равен рангу полученной матрицы размера 2×6, т.е.

r(A) ≤ 2. Минор

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

следовательно, r(A) = 2.

Метод Гаусса

Пусть в системе (1) I. Матрицы и операции над ними - student2.ru (этого всегда можно добиться, поменяв уравнения местами). Разделим обе части первого уравнения на I. Матрицы и операции над ними - student2.ru и вычтем полученное уравнение из каждого из остальных уравнений системы, умножив его предварительно на I. Матрицы и операции над ними - student2.ru где i – номер очередного уравнения. Как известно, полученная при этом новая система будет равносильна исходной. Коэффициенты при I. Матрицы и операции над ними - student2.ru во всех уравнениях этой системы, начиная со второго, будут равны 0, т.е. система выглядит так:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Если новые коэффициенты при х2 не все равны нулю, можнотаким же образом исключить I. Матрицы и операции над ними - student2.ru из третьего и последующих уравнений. Продолжая эту операцию для следующих неизвестных, приведем систему к так называемому треугольному виду:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru . (2)

Здесь символами I. Матрицы и операции над ними - student2.ru и I. Матрицы и операции над ними - student2.ru обозначены изменившиеся в результате преобразований числовые коэффициенты и свободные члены.

Из последнего уравнения системы (2) единственным образом определяется I. Матрицы и операции над ними - student2.ru , а затем последовательной подстановкой – остальные неизвестные.

Пример 13.

Решить систему методом Гаусса:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Решение.

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Для удобства его применения поменяем местами 1-е и

2-е уравнения, чтобы в первом уравнении коэффициент при х равнялся единице:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Теперь исключим х из второго и третьего уравнений. Для этого вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 3, а из третьего – первое, умноженное на 2:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Далее можно легко исключить z из третьего уравнения, если прибавить к нему второе:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Из последнего уравнения получаем, что у = 0. Подставляя это значение в первое и второе уравнения, находим остальные неизвестные: z = 3, х = 1.

Итак, х = 1, у = 0, z = 3.

Правило Крамера

Рассмотрим линейную систему, в которой число уравнений равно числу неизвестных: I. Матрицы и операции над ними - student2.ru (3)

Назовем главным определителем такой системы определитель I. Матрицы и операции над ними - student2.ru , элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru , (4)

а определителем I. Матрицы и операции над ними - student2.ru - определитель, полученный из (4) заменой столбца коэффициентов при xj на столбец свободных членов. Тогда:

1) Если I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru система (3) имеет единственное решение, определяемое по формулам: I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

2) Если I. Матрицы и операции над ними - student2.ru = I. Матрицы и операции над ними - student2.ru =0, система имеет бесконечно много решений.

3) Если I. Матрицы и операции над ними - student2.ru = 0, а хотя бы один из I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru система не имеет решений.

Пример 14.

Решить систему по правилу Крамера:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Решение.

Главный определитель

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

следовательно, система имеет единственное решение.

Найдем Δх, Δу и Δz:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

Отсюда

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

Пример 15.

Решить систему

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

с помощью обратной матрицы.

Решение.

Составим матрицу системы:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

ΔА = -51 ≠ 0, следовательно, система имеет единственное решение.

Найдем матрицу А-1:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

Тогда I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Если I. Матрицы и операции над ними - student2.ru , то исходная система превращается в матричное уравнение АХ = В, решение которого Х = А-1В. Следовательно,

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

то есть х = 3, у = 1, z = 1.

Пример 16.

Найти фундаментальную систему решений однородной линейной системы

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Решение.

Найдем r(A):

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru ~ I. Матрицы и операции над ними - student2.ru ~ I. Матрицы и операции над ними - student2.ru ~

~ I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Выберем в качестве базисного минора I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Значит, r(A) = 2. Пусть х4, х5 – базисные неизвестные, х1, х2, х3 – свободные неизвестные. Запишем для них новую систему:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru ,

откуда I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Фундаментальная система решений состоит из трех столбцов. Рассмотрим три набора значений свободных неизвестных:

1) х1 = 1, х2 = х3 = 0.

Тогда х4 = -0,2, х5 = 1,2, и решение можно записать в виде столбца I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

2) х1 = 0, х2 = 1, х3 = 0.

При этом х4 = 1,2, х5 = 3,8, и следующее решение системы имеет вид I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

3) х1 = х2 = 0, х3 = 1. Отсюда х4 = -0,8, х5 = -0,2, и последний столбец

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Фундаментальная система решений, построенная при таком выборе свободных неизвестных, называется нормальной. Поскольку столбцы свободных неизвестных I. Матрицы и операции над ними - student2.ru , I. Матрицы и операции над ними - student2.ru , I. Матрицы и операции над ними - student2.ru линейно независимы, это гарантирует линейную независимость решений Х1, Х2, Х3.

Итак, в качестве фундаментальной системы решений можно выбрать

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru , I. Матрицы и операции над ними - student2.ru , I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

При этом любое решение данной системы имеет вид: Х = с1Х1 + с2Х2 + с3Х3, где с1, с2, с3 – произвольные постоянные. Эта формула задает общее решение системы.

Пример 17.

Найти общее решение и одно из частных решений линейной системы

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Решение.

Найдем r(A) и r(A1):

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru ~ I. Матрицы и операции над ними - student2.ru ~

~ I. Матрицы и операции над ними - student2.ru ~ I. Матрицы и операции над ними - student2.ru ~

~ I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Итак, r = r(A) = r(A1) = 2, а число неизвестных п = 5. Следовательно, r < n, и система имеет бесконечно много решений (совместна, но не определена).

Число базисных неизвестных равно r, то есть двум. Выберем в качестве базисных неизвестных х1 и х2, коэффициенты при которых входят в базисный минор преобразованной матрицы А: I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Соответственно х3, х4, х5 – свободные неизвестные.

Запишем систему, равносильную исходной, коэффициентами в которой являются элементы полученной матрицы:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

и выразим базисные неизвестные через свободные:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Получено общее решение системы. Одно из частных решений можно найти, положив все свободные неизвестные равными нулю: х3 = х4 = х5 = 0. Тогда

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

Таким образом, общее решение – I. Матрицы и операции над ними - student2.ru ;

частное решение – I. Матрицы и операции над ними - student2.ru х3 = х4 = х5 = 0.

Другая возможность получить общее решение неоднородной системы заключается в предварительном нахождении общего решения соответствую-щей однородной системы. При этом искомое общее решение представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы (6) и частного решения системы (3).

Пример 18.

Найти общее решение неоднородной линейной системы

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

с помощью фундаментальной системы решений соответствующей однородной системы.

Решение.

Убедимся в том, что система совместна:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru ~ I. Матрицы и операции над ними - student2.ru ~ I. Матрицы и операции над ними - student2.ru ~

~ I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Итак, r(A) = r(A1) = 2 – система совместна.

Составим по преобразованной матрице однородную систему:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

и найдем для нее фундаментальную систему решений:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru ,

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Фундаментальная система решений может быть выбрана так:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru , I. Матрицы и операции над ними - student2.ru , I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Теперь найдем какое-нибудь частное решение неоднородной системы

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru .

Положим х3 = х4 = х5 = 0, тогда I. Матрицы и операции над ними - student2.ru . Следовательно,

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru , и общее решение системы имеет вид:

I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru , где с1, с2, с3 – произвольные постоянные.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Вариант задания выбирается по порядковому номеру в списке группы

Задание №1

Вычислить определитель:

1. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

2. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

3. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

4. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

5. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

6. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

7. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

8. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

9. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

10. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

11. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

12. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

13. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

14. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

15. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

16. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

17. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

18. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

19. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

20. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

21. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

22. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

23. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

24. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

25. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

26. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

27. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

28. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

29. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

30. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

Задание №2

Для матриц A и B вычислить матричный многочлен А2 – ВА + 5А.

1. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

2. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

3. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

4. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

5. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

6. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

7. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

8. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

9. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

10. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

11. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

12. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

13. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

14. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

15. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

16. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

17. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

18. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

19. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

20. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

21. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

22. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

23. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

24. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

25. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

26. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

27. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

28. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

29. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

30. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

Задание №3

Вычислить обратную матрицу для матрицы:

1. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

2. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

3. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

4. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

5. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

6. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

7. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

8. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

9. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

10. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

11. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

12. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

13. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

14. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

15. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

16. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

17. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

18. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

19. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

20. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

21. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

22. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

23. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

24. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

25. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

26. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

27. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

28. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

29. I. Матрицы и операции над ними - student2.ru

30.

Наши рекомендации