Матрицы и операции над ними

Определение. Матрицей будем назвать прямоугольную таблицу, элементами которой являются числа или буквы.

Обозначаются матрицы обычно прописными латинскими буквами.

Определение.Размером матрицы будем называть упорядоченную пару неотрицательных целых чисел такую, что первое число – количество строк в матрице, втрое число в паре – количество столбцов в матрице.

Пример. - матрица A размера 2´3.

Определение. Элементом матрицы будем называть число или букву, входящие в какую-либо ячейку матрицы.

Строки и столбцы в матрице естественным образом упорядочиваются: Строки нумеруются «сверху вниз», столбцы нумеруются «слева направо»

Определение. Номером элемента матрицы будем называть упорядоченную пару натуральных чисел, первое из которых – номер строки, в которой находится элемент, второе – номер столбца, в котором находится элемент.

Обозначение: a_ij – элемент матрицы A с номером ij.

Пример. В матрице элемент a₁₁ = 1.

Определение. Матрицу размером 1´n (n Î N) будем назвать строкой, матрицу размером 1´n (n Î N) будем называть столбцом; матрицу размером n´n (n Î N) будем назвать квадратной матрицей; матрицу, все элементы которой нули, будем называть нулевой матрицей.

Обозначения:

M_nk – множество матриц размером n´k;

M_n – множество матриц размером n´n;

q - нулевая матрицa.

Определение. Две матрицы одного размера будем назвать равными, если элементы этих матриц с одинаковыми номерами равны.

Определение.Умножением матрицы на число будем назвать операцию, которая данному числу и данной матрице сопоставляет матрицу, все элементы которой – это произведение элементов данной матрицы и данного числа.

Пример. ; .

Теорема. (Свойства операции умножения матрицы на число).

1) 0 A = q для любой матрицы A Î M_nk;

2) l q = q для любого числа l Î R;

3) 1 A = A для любой матрицы A Î M_nk;

4) (l m) A = l (mA) = m (lA) для любой матрицы A Î M_nk, для любых чисел l, m Î R.

Определение. Суммой двух матриц их множества M_nk будем назвать матрицу того же размера, каждый элемент которой– это сумма элементов данных матриц, то есть

, если для любых i Î {1,2,…,n}, j Î {1,2,…,k}

Пример. ; .

Замечание. Сумма двух матриц – это операция M_nk ´ M_nk ® M_nk , которая упорядоченной паре матриц сопоставляет матрицу, каждый элемент которой.

Теорема. (Свойства суммы матриц).

1) Коммутативность: A + B = B + A для любых матриц A, B Î M_nk;

2) Ассоциативность: (A + B) + C = A + (B + C) для любых матриц A, B, C Î M_nk;

3) Нейтральный элемент: существует матрица q Î M_nk такая, что q + A = A для любой матрицы A Î M_nk;

4) Обратный (противоположный) элемент: для любой матрицы A Î M_nk существует матрица (-A): A + (-A) = q.

Теорема. (Свойства суммы матриц относительно операции умножения матрицы на число)

1) (l + m) A = lA + m A для любой матрицы A Î M_nk, для любых чисел l, m Î R;

2) l (A + B ) lA + lB для любой матрицы A Î M_nk, для любого числа l Î R;

3) (-1) A = -A для любой матрицы A Î M_nk.

Определение.Произведением матрицы A Î M_nk и матрицы B Î M_kl будем назвать матрицу C Î M_nl такую, что (i Î {1,2,…n}, j Î {1,2,…,l})

Пример. Систему линейных уравнений можно записать следующим образом: AX = B, где A = (a_ij), B = , X = .

Более того, при линейной замене неизвестных x₁, x₂ на неизвестные y₁, y₂: или X = CY, где С = (с_ij), Y = .

новая система уравнений будет следующей: (AC) Y = B

Замечание. Ясно, что произведение двух квадратных матриц определено тогда, и только тогда, когда эти матрицы одного размера, при этом в результате получится матрица того же размера.

Теорема. Свойства произведения матриц.

1) AB ≠ AB для любой матрицы A Î M_nk;

2) (AB)C = A (BC) для любого числа l Î R, для любых матриц A, B, C, для которых определены произведения AB и BC;

3) Существует квадратная матрица E Î M_n такая, что AE = EA = A для любой квадратной матрицы A Î M_n.

Определение. Квадратную матрицу E Î M_n такую, что AE = EA = A для любой квадратной матрицы A Î M_n будем называть единичной матрицей (порядка n).

Определение. Множество элементов вида a_ii квадратной матрицы A будем называть главной диагональю.

Ясно, что все единичные матрицы устроены следующим образом: на главной диагонали матрицы стоят «1», остальные элементы матрицы равны нулю, то есть элементы этой матрицы – это символы Кронекера: .