Матрицы и операции над ними

Предисловие

Особенностью образовательной системы Республики Беларусь является становление и развитие учебных заведений различного типа, в том числе колледжей и высших колледжей. В условиях многоуровневого образования в системе учебных заведений колледж–университет актуальна реализация принципов непрерывности и преемственности в обучении.

Предлагаемое учебное пособие «Математика в примерах и задачах» в 6-ти частях призвано обеспечить процесс изучения математики в высших колледжах и колледжах технического профиля. Оно может быть использовано учащимися на практических занятиях, а также при самостоятельном изучении математики.

При создании настоящего пособия авторы ставили перед собой несколько целей: во-первых, дать значительное количество задач (типовых и оригинальных), которые бы достаточно полно отображали суть основных математических понятий; во-вторых, обеспечить необходимой теоретической информацией для их решений; в-третьих, по каждой теме привести решение основных типов задач; в-четвертых, предлагаемый для решения набор задач распределить по трем уровням сложности. Все эти цели и определили структуру учебного пособия, которое делится на главы, главы – на параграфы. В начале каждого параграфа содержится необходимый справочный материал, затем – решение нескольких задач и набор заданий трех уровней сложности.

Предлагаемая структура учебного пособия, по мнению авторов, делает возможным самостоятельное изучение математики. Его использование позволяет реализовать дифференцированный подход в обучении – каждый учащийся может решать задания доступного ему уровня сложности.

Пособие разработано и прошло апробацию в УО «Минский государственный высший радиотехнический колледж» (МГВРК) в процессе обучения учащихся после базовой школы.

Характерной особенностью методического подхода к изучению математики в МГВРК является построение интегрированного курса математических дисциплин. Этим объясняется то обстоятельство, что определенные темы высшей математики введены в контекст элементарной математики. Поскольку на практике широко реализуется непрерывное образование в системе учебных заведений колледж–университет (в том числе МГВРК интегрирован с Белорусским государственным университетом информатики и радиоэлектроники), то при разработке данного учебного пособия авторы использовали (как и в реальном учебном процессе) в качестве типовых программу изучения математики в средних школах Беларуси и программу изучения высшей математики для высших учебных заведений по специальностям электро-, радиотехники и информатики.

Таким образом реализуются основы непрерывного продолжения обучения в университете. Кроме того, предлагаемое учебное пособие может быть использовано в колледжах при изучении математики по различным базовым и рабочим программам – менее или более полным.

«Математика в примерах и задачах. Часть 3» является непосредственным продолжением учебного пособия «Математика в примерах и задачах. Части 1–2». В этих изданиях принята единая нумерация глав. Предлагаемое пособие (третья часть) состоит из шести глав (гл. 13–18). В отношении авторства отметим, что они подготовлены следующим образом:

М. А. Калугина – гл. 13 «Линейная алгебра», гл. 14 «Векторная алгебра», гл. 15 «Аналитическая геометрия в пространстве»;

Е. В. Уласевич – гл. 16 «Предел и непрерывность функции», гл. 17 «Дифференциальное исчисление»;

Н. В. Михайлова – гл. 18 «Функции многих переменных».

Научно-методическое редактирование осуществила Л. И. Майсеня, она является соавтором всего пособия.

Авторы благодарны рецензентам учебного пособия – доктору физ.-мат. наук, профессору А. В. Метельскому и сотрудникам кафедры высшей математики БГУИР, особенно зав. кафедрой, доктору физ.-мат. наук В. В. Цегельнику и профессору А. А. Карпуку, за очень внимательное прочтение рукописи и ряд ценных замечаний, устранение которых улучшило наше издание.

Надеемся, что предлагаемое издание будет содействовать активизации мыслительной деятельности учащихся и повышению эффективности учебного процесса при изучении математики.

Линейная алгебра

Матрицы и операции над ними

Матрицейназывается прямоугольная таблица, составленная из элементов некоторого множества. Горизонтальные ряды такой таблицы называются строками матрицы, а вертикальные – ее столбцами. Матрицы обозначают A, B, C, X… . Запись a_ij используют для указания местоположения элемента матрицы (i – номер строки, j – номер столбца). Числовую матрицу размеров (т. е. состоящую из m строк и n столбцов чисел) в общем случае записывают в виде

или в более компактной форме

Ее обозначают также

Если m = n матрицу называют квадратной порядка n и обычно обозначают A_n. Элементы a_ii, такой матрицы образуют ее главную диагональ.

Квадратная матрица вида

(13.1)

где называется диагональной. Если для любого то матрица (13.1) называется единичной и обозначается E_n.

Верхнейи нижней треугольнымиматрицами называются квадратные матрицы вида

и соответственно.

Трапециевидной матрицей называется матрица вида

где числа a₁₁, a₁₂, …, a_kk отличны от нуля.

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю. Обозначают такую матрицу буквой O.

Две матрицы одинакового размера

и (13.2)

называются равными, если для всех

Суммой матриц (13.2) называется матрица A + B размеров m × n, состоящая из элементов где

Произведением матрицы A_m×n на число α называется матрица

Разностью матриц (13.2) называется матрица A – B = A + (–1)B.

Противоположной к В называется матрица –В, такая что