Условная классическая вероятность. Свойства.

Вероятность события при условии, что произошло другое событие, называется условной вероятностью: p(A/B), p(A)

Свойства:

1. p(Ω/c)=p(Ωc)/p(c)=1

2. p(Ø/c)=p(Øc)/p(c)=0

3. AB≠Ø

p(A+B/c)

4. AB=Ø

p(A+B/c)=

5. BcA

p(A/C)≤p(B/C)

6. p(A/C)?[0,1]

7. p(A/C)=1-p(Ā/C)

Статистическая вероятность. Ее аксиомы.

Значение относительной чистоты, полученное при бесконечном числе испытаний , называется статистической вероятностью.

Аксиомы:

1. m/n≥0

2. m=n à m/n=1

3. m=m₁+m₂ à m/n=m₁/n=m₂/n

Алгебра события. Замкнутость алгебры относительно основных операций.

Пусть дано бесконечное пространство Ω. Ω={w₁, w₂, …, w_n}. Образуем множество всех подмножеств этого пространства δ-алгебра и придадим следующие свойства:

· Ω?δ-алгебра

· A₁•A₂?δ-алгебра à A₁+A₂?δ-алгебра

· A? à Ā?δ-алгебра

Теорема о замкнутости.

· A₁,A₂?δ-алгебра à A₁+A₂?δ-алгебра

· A₁,A₂?δ-алгебра à A₁•A₂?δ-алгебра

· A₁,A₂?δ-алгебра à A₁-A₂?δ-алгебра

· Симметрическая разность

A₁,A₂?δ-алгебра à A₁∆A₂?δ-алгебра

Формулировка аксиоматической вероятности.

Пусть дано бесконечное пространство Ω. Ω={w₁,w₂…w_n}. Образуем множество всех подмножеств этого пространства А и обладающие определенными свойствами.

Свойства аксиоматической вероятности.

1. p(Ω)=1

2. p(Ø)=0

3. если события A и B несовместны, то p(A+B)=p(A)+p(B)

4. p(A+B)=p(A)+p(B)-p(AB)

5. Событие A инициазирует событие B

AсB à p(A)≤p(B)

6. Следует из предыдущих свойств

p(A)?[0,1]

7. p(Ā)=1-p(A)

Теорема сложения событий (аксиоматическая вероятность).

AB≠0

p(A+B)=p(A)+p(B)-p(AB)

Теорема умножения событий.

A₁, A₂, … , A_n ? δ-алгебра

p(A₁ • A₂ • … • A_n)=p(A₁)•p( )•p( )•…•p( )

Вероятность появления хотя бы одного события.

Пусть даны события A₁, A₂, … A_n независимы в совокупности

B=Ā₁•Ā₂•…•Ā_n ( не произошло ни одного события)

Введем событие A=A₁+ A₂+ … +A_n (произошло хотя бы одно событие)

A+B=Ω

A•B=Ø

Рассмотрим формулу и вероятность на ней

p(A+B)=1

p(A)+p(B)=1

p(A)=1-p(Ā₁,Ā₂,…Ā_n)=1-p(Ā₁)…p(Ā_n)

p(Ā_i)=q_i

q_i=1-p_i

p_i=p(A_i)

è p(A)=1-q₁q₂…q_n – вероятность появления хотя бы одного события

Формула полной вероятности и формула Байеса.

Формула полной вероятности

p(A)= )•p(A/ )

Формула Байеса

Схема испытаний Бернулли.

Система независимых испытаний, где в каждом опыте системы события появляются с постоянной вероятностью, называют схемой испытаний Бернулли:

P_n(m)= p^m q^n-m

Наивероятнейшее число событий, оценка н.ч.с.

Значение числа событий, при котором достигается их наивероятнейшее значение, называют наивероятнейшим числом событий.

Теорема ( о наивероятнейшем событии)

Пусть реализуется схема Бернулли в n испытаниях, p вероятностей

q=1-p

то НЧС заключается в следующих границах:

m*: np-q≤m*≤np+q

при этом имеет место 3 случая:

· если np-q дробное, то m* - единственно

· если np-q целое положительное, то m* и m*+1

· если np целое, то m* - единственное и совпадает с np: m*=np