Условная вероятность. Независимость событий

Внимательный читатель наверняка обратил внимание на то, что в формуле вероятности суммы двух событий (теореме сложения) Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru имеется слагаемое Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru т.е. вероятность произведения двух событий, а мы об этом еще ничего не сказали. Это весьма важный момент, к которому мы и приступаем.

Пусть в результате опыта могут произойти события Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru и Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru причем известны их вероятности Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru и Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru Предположим теперь, что опыт произведен и известно, что произошло событие Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru Изменит ли эта дополнительная информация начальную, доопытную (априорную) вероятность Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru или она не меняется (хотя бы в некоторых случаях)?

Пример 15. Подбрасывается игральная кость, т.е. Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru Рассмотрим следующие события: А = (выпадение четного числа) = Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru В = =(выпадение нечетного числа)= Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru С=(выпадение четверки или шестерки)= = Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru D=(выпадение не более пяти)={1,2,3,4,5};

Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru Рассмотрим несколько вариантов.

Пусть событие Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru произошло, т.е. выпало нечётное число очков. Ясно, что при этом условии событие Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru ( т.е выпадет чётное число) произойти не может, следовательно, априорная вероятность Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru меняется.

Определение. Вероятность события Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru при условии, что событие Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru произошло (апостериорная вероятность), называется условной вероятностью события Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru и обозначается Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru

Для единообразия априорную вероятность Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru события Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru будем называть безусловной. Итак, в нашем примере Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru т.е. Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru

Пусть теперь событие Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru произошло. Вычислим Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru Если Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru произошло, то выпало или 2, или 4, или 6. Из этих трех случаев событию Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru благоприятствуют два: 4 и 6. Заметим, что Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru Таким образом, Р(С/А)=2/3. Аналогично, легко подсчитать, что Р(А/С)=1, Р(B/D)=3/5, Р(D/B)=1 и т.д.

Определение. События Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru и Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого. В противном случае события зависимые.

Условные вероятности определяются формулами:

Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru (7)

откуда получаем формулу вероятности произведения двух событий (теорему умножения).

Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru (8)

Отметим, что условная вероятность обладает всем свойствами вероятности.

В заключение запишем обобщенную формулу умножения вероятностей. Пусть имеем события Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru тогда

Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru (9)

Если события независимые, то Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru и формула (8) приобретает вид Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru

Заметим, что в примере 15 понять, зависимы или независимы события Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru и Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru можно лишь перечислив составляющие их элементарные события. Дело в том, что в данном примере элементарные исходы взаимно исключают друг друга и связаны «одним прибором» - игральной костью, - они изначально зависимы. То же можно сказать о геометрических вероятностях. В других случаях зависимость или независимость событий ясна из физического (здравого) смысла. Например, составлена электрическая цепь из нескольких элементов. Выход из строя (или исправность) каждого элемента, разумеется, не зависит от других - они изначально независимы. При этом они, конечно, могут быть совместными - могут одновременно выйти из строя.

Именно с помощью теорем сложения и умножения, а так же используя формулы комбинаторики и решают задачи. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 16. На карточках разрезной азбуки написаны буквы.

а а б б б о

Карточки переворачивают, перемешивают и по порядку выкладывают. Найти вероятность того, что составится слово:

1) а б б а ; 2) б а о б а б

Решение. Первое задание. Будем решать двумя способами.

Первый способ ( по формулам комбинаторики). Обозначим А = ={составлено слово абба}, Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru Число всех способов равно числу размещений (т.к. важен порядок следования букв) из 6 по 4: Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru При вычислении числа Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru благоприятствующих случаев заметим, что слово «абба» содержит две буквы «а» и карточек таких тоже две. Если две карточки переставить местами, то слово не изменится, сделать это можно Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru двумя способами. Для каждой такой перестановки в слове буквы «б» тоже можно переставить местами. Поскольку карточек с буквой «б» имеется три, то сделать это можно Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru шестью способами. По основной формуле комбинаторики Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru следовательно, Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru .

Второй способ (по теореме умножения)

Обозначим Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru (первой извлечена буква Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru ), Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru (второй извлечена буква б), Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru третьей извлечена буква б), Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru (четвертой извлечена буква Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru , тогда по формуле Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru и по формуле (9)

Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru Вычислить все сомножители очень просто по классическому определению вероятности: Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru т.к. всего карточек 6, а благоприятствующих (с буквой «а») - две; Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru т.к. всего карточек осталось 5 (событие Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru произошло), а благоприятствующих (букв «б») - три; аналогично, Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru Получаем: Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru

Второй способ мы изложили подробно, потратив много времени на запись решения – устно задачу можно решить этим способом очень быстро.

Второе задание также решим этими двумя способами.

Первый способ. Событие B = {составлено слово баобаб}, Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru Рассуждая как в первом задании, получим ( без комментариев): Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru

Второй способ ( без записи обозначений и комментариев):

Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru Читателю предлагается определиться, какой способ решения ему понравился больше.

Пример 17. На книжной полке стоят 10 книг и среди них три тома С.А.Есенина. Книги нечаянно сброшены и наудачу расставляются на полку вновь. Какова вероятность события Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru состоящего в том, что три томика Есенина окажутся рядом.

Решение. Три томика Есенина будем обозначать звездочками (рис.8). Из рисунка ясно, что помеченная тройка книг среди других может занимать 8 позиций. При этом в каждой позиции можно переставлять 3 помеченные книги и 7 непомеченные, поэтому для искомой вероятности

Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru

                                                         
  Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru
    Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru   Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru   Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru   Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru
 
 
 
  Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru
    Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru
 
  Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru
 
  Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru
 
  Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru
 
  Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru
 
  Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru
 
    Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru   Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru   Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru   Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru   Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru   Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru   Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru   Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru
 

Рис. 8 Рис. 9

 
   
Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru

Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru

Пример 18. На рис. 9 представлена электрическая цепь. Известны вероятности Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru безотказной работы элементов цепи Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru за время Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru Найти вероятность безотказной работы цепи за время Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru

Решение. Обозначим события Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru {безотказная работа элемента Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru за время Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru }, Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru Пусть событие Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru {безотказная работа цепи за время Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru }.

На рис.9 элементы Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru и Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru , соединенные последовательно, объединим в блок Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru а элементы Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru и Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru в блок Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru и обозначим события Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru ={безотказная работа блока Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru за время Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru }, Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru По схеме видно, что блоки Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru и Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru соединены параллельно. Тогда Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru ( схема работает, если работает блок Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru , или Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru или оба). События Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru и Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru совместные, поэтому по теореме сложения

Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru (10)

В каждом блоке элементы соединены последовательно, поэтому Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru ( блок Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru работает, если работает элемент Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru и Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru ). События Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru и Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru независимые, поэтому по теореме умножения Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru . Аналогично Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru Подставляя в формулу (10), получим: Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru

Например, если все Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru равны 0,9, то Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru

Замечание. По решению этой задачи акцентируем внимание читателя на следующем: если применяем теорему сложения, то следим – совместны или несовместны события; если применяем теорему умножения, то учитываем - зависимы или независимы сомножители!

Пример 19. Три стрелка произвели по одному выстрелу по мишени. Вероятности попадания для стрелков равны 0,9; 0,8 и 0,7. Найти: 1) вероятность того, что мишень будет поражена тремя выстрелами; 2) вероятность того, что мишень будет поражена двумя выстрелами; 3) вероятность того, что все три стрелка промахнутся; 4) вероятность того, что хотя бы один стрелок поразит мишень.

Рещение. Введём случайные события Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru = {i-й стрелок поразил мишень}, i=1,2,3. По условию Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru следовательно, Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru

1) Обозначим событие В = {мишень поражена тремя выстрелами}. Это означает, что в мишень попал и первый, и второй, и третий стрелок, следовательно, В = Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru Разумеется, события Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru независимые, поэтому по теореме умножения Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru

= Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru

2) Обозначим событие С = {мишень поражена двумя выстрелами}, следовательно, Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru Тогда

Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru

Заметим, что слагаемые в скобках являются попарно несовместимыми событиями, поскольку в каждой паре слагаемых есть событие и ему противоположное. Например, перемножим первое и второе слагаемые:

Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru

Следовательно, по аксиоме сложения, Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru

3) Обозначим событие Д = {все три стрелка промахнутся}, т.е. Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru Тогда Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru

= Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru

1) Обозначим событие Е = {хотя бы один стрелок поразит мишень}.Этот пункт примера можно решать по-разному.Рассмотрим их все. Во – первых, можно так рассуждать: событие Е означает, что в мишени окажется или одно попадание ( Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru или два попадания (событие Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru или три попадания (В = Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru поэтому Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru

Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru

Во – вторых, можно рассуждать так: событие Е означает, что в мишень попал или первый стрелок, или второй, или третий. Тогда Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru и по теореме сложения для трёх совместных событий получим:

Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru

Наконец, рассмотрим самый рациональный способ: событие Е противоположно событию Д, т.е. Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru

Пример 20. В лотерее «5 из 36» можно угадать Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru чисел Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru Чем больше угаданных чисел, тем больше выигрыш. Обозначим события Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru (угадано Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru чисел), Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru Вычислить Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru

Решение. Каждую из вероятностей будем вычислять по классической схеме Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru Вычислим, например, Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru В лотерее каждый участник зачеркивает (выбирает) 5 чисел из 36. Поскольку порядок здесь не играет роли, число всех случаев Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru Благоприятствующими случаями для Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru являются любые сочетания из 5 выигрышных чисел по три; при этом остальные два числа будут невыигрышными, т.е. число сочетаний из 31 невыигрышных числа по 2 элемента. Следовательно, Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru

Аналогично вычисляются другие вероятности; приведем лишь результаты:

Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru вероятность не угадать ни одного числа,

Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru вероятность угадать одно число;

Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru вероятность угадать два числа;

Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru вероятность угадать четыре числа;

Условная вероятность. Независимость событий - student2.ru вероятность угадать все пять чисел и выиграть главный приз - шанс приблизительно три из миллиона!

Наши рекомендации