Произведение событий и условная вероятность

Определение 1. Произведением двух событий А и В называ­ется событие АВ, означающее совместное появление этих со­бытий (см. гл. 1.1, произведение множеств).

Например, если событие А — шар, событие В — белый цвет, то их произведение АВ — белый шар. Аналогично опре­деляется произведение нескольких событий, как совместное по­явление их всех.

Если при вычислении вероятности события никаких дру­гих ограничений кроме необходимого комплекса условий S не налагается, то такая вероятность называется безусловной. Ес­ли же налагаются другие дополнительные условия, содержа­щие случайные события, то вероятность такого события назы­вается условной.

Определение 2. Вероятность события В в предположении о наличии события А называют условной вероятностью Р_A(В).

Пример 1. В ящике лежит 11 деталей, 3 из них нестандарт­ные. Из ящика дважды берут по одной детали, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что во второй раз из ящика будет извлечена стандартная деталь — событие В, если в пер­вый раз была извлечена нестандартная деталь — событие А.

Решение. После первого извлечения в ящике из 10 дета­лей осталось 8 стандартных, и, следовательно, искомая веро­ятность

Пусть теперь известны вероятность Р(А) события А и условная вероятность Р_А(В) события В. Тогда справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 3. Вероятность произведения двух событий определяется формулой

Пример 2. В условиях примера 1 найти вероятности того, что в первый раз извлечена нестандартная деталь, а во второй раз — стандартная, и наоборот.

Решение. Итак, событие А — это извлечение из ящика не­стандартной детали, а событие В — стандартной. Тогда воз­можны два случая. 1) Вероятность Р(А) = 3/11, а условная вероятность Р_A(В) = 0,8. Искомая вероятность произведения этих событий (их совместного появления в указанном порядке) равна, согласно теореме 17.3,

2) Вероятность Р(В) = 8/11, а условная вероятность Р_B(А) = 0,3. Мы видим, что и в этом случае вероятность произведе­ния событий Р(ВА) = Р(В)Р_B(А) ≈ 0,22.

В этом примере мы проверили известное в теории равен­ство

Теорема 17.3 допускает обобщение на случай произведения любого числа событий A₁, А₂, А₃, ..., A_n:

т.е. вероятность совместного появления п событий равна про­изведению п вероятностей, где P_A1A2..._Ak-1(A_k) — условные ве­роятности событий A_k в предположении, что события A₁A₂ ... A_k-1 уже произошли (k = 1, 2, ... , п).

Пример 3. В урне находится 4 белых шара, 5 красных и 3 синих. Наудачу извлекают по одному шару, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что в первый раз появится белый шар (событие А), во второй раз — красный (событие В), в третий — синий (событие С).

Решение. Вероятность появления белого шара в первом извлечении Р(А) = 1/3; условная вероятность появления крас­ного шара во втором извлечении при условии появления в пер­вый раз белого шара Р_A(В) = 5/11; условная вероятность по­явления синего шара в третьем извлечении при условиях по­явления в предыдущих извлечениях белого и красного шаров Р_AB(С) = 0,3. Искомая вероятность определяется по формуле (17.6) при п = 3:

Независимые события

Определение 3. Событие В называется независимым от со­бытия А, если условная вероятность события В равна его без­условной вероятности (появление события А не влияет на ве­роятность события В):

Отсюда следует, что и событие А также независимо от со­бытия В:

Для независимых событий теорема умножения вероятностей 17.3 в общей форме, которая следует из (17.6), имеет вид

Равенство (17.7) принимается за определение независимых со­бытий. При этом если события независимы, то независимы также и соответствующие им противоположные события.

Пример 4. Найти вероятность поражения цели при совмест­ной стрельбе тремя орудиями, если вероятности поражения цели орудиями соответственно равны 0,9, 0,8 и 0,7 (события А, B и С).

Решение. Поскольку события А, В и С являются независимыми, то искомая вероятность вычисляется, согласно формуле (17.7), при n = 3:

Когда в результате испытания может иметь место n неза­висимых событий с известными вероятностями их появления, особый интерес представляет случай нахождения вероятнос­ти наступления хотя бы одного из них (например, в случае трех событий найти вероятность наступления либо одного, ли­бо двух, либо трех событий). Обозначим это событие через А. Справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 4. Вероятность появления хотя бы одного из не­зависимых событий А₁, A₂, ... , А_n определяется формулой

где q_i = 1 — p_i — вероятности соответствующих противо­положных событий _i (i = 1, 2,... , n).

В частном случае, когда все события Аi имеют одинаковую вероятность р, из формулы (17.8) следует, что

Пример 5. В условиях примера 4 найти вероятность пораже­ния цели (хотя бы одного попадания) при залповой стрельбе орудий.

Решение. Вероятности противоположных событий (про­махов) соответственно равны q₁ = 0,1, q₂ = 0,2, q₃ = 0,3. Иско­мая вероятность находится по формуле (17.8) при п = 3:

Из этого примера наглядно видно преимущество совместного воздействия случайных событий с целью достижения общего результата.

Пример 6. На перевозку груза направлены 4 автомобиля. Ве­роятность нахождения каждой из машин в исправном состоя­нии равна 0,8. Найти вероятность того, что в работе участвует хотя бы один из выделенных для этого автомобилей.

Решение. Вероятность противоположного события (маши­на неисправна) равна q = 1 - 0,8 = 0,2. По формуле (17.9) находим искомую вероятность при n = 4:

Пример 7. Вероятность обслуживания клиента одним опера­ционистом в банке равна 0,6. Какое минимальное число опе­рационистов должно работать в банке, чтобы вероятность об­служивания клиента была не менее 0,95?

Решение. Вероятность противоположного события (отказ в обслуживании клиента операционистом) равна 0,4. Пусть n — количество операционистов, удовлетворяющее условию за­дачи, т.е.

Решая это неравенство, получаем

Логарифмирование обеих частей этого неравенства дает

Поскольку n должно быть целым числом, окончательно получаем, что в банке должны работать не менее 4 операцио­нистов.