Критерий Коши сходимости числовых рядов. Необходимое условие сходимости
Теорема (критерий Коши):Для того чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы
и
выполнялось бы:
.{Сходимость числового ряда определяется сходимостью числовой последовательности {
}. Ранее доказано: для того чтобы последовательность {
} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы
и
выполнялось бы:
или
.}
Теорема (необходимое условие сходимости) : . Переходя к пределу при
, получим:
. Тот же результат можно получить из критерия Коши, полагая p = 1. Очевидно, условие
является необходимым, но не достаточным условием сходимости числового ряда.(НО :Ряд
расходится , однако
)
Признаки сравнения числовых рядов
Теорема 1 (признак сравнения):Пусть даны два ряда: (1) и
(2). Если, начиная с некоторого номера выполняется:
(3),
, то из сходимости ряда (2)
сходимость ряда (1); из расходимости ряда (1)
расходимость ряда (2).
{Не ограничивая общности, будем считать, что неравенство выполняется для всех n . Пусть
. Очевидно, последовательности {
} и {
} – монотонные неубывающие. Пусть ряд (2) сходится. Тогда {
} ограничена:
. Но тогда, в силу (3),
и ряд (1) – также сходится.
Пусть ряд (1) расходится. Если бы ряд (2) сходился, то, по доказанному выше, сходился бы и ряд (1). Т.е. получили бы противоречие. Таким образом, ряд (2) также расходится.}
Теорема 2 (признак сравнения в предельной форме):Пусть Если существует
то ряды (1) и (2) сходятся либо расходятся одновременно.{Пусть ряд (2) сходится.Из существования
:
, откуда получаем:
или
следует сходимость ряда (1). Пусть ряд (2) расходится.Существует
, откуда аналогичным образом получаем:
. Если бы сходился ряд (1), а вместе с ним и ряд
, то по теореме 1 сходился бы и ряд (2). А это не так. Значит, ряд (1) также расходится.}
. Так как
, а ряд
- расходится (
то расходится и ряд
.
Признак Коши и Даламбера
Теорема (признак Коши в предельной форме):Если существует , то при
ряд (1) сходится; при
расходится, при
этот признак не даёт возможности судить о поведении ряда.
{
a) начиная с некоторого номера
<
1. Ряд сходится.
б)
начиная с некоторого номера
>1 . Ряд расходится. }
Теорема (признак Даламбера):Пусть Если, начиная с некоторого номера
,
для всех
, то ряд (1) сходится. Если же
, то ряд (1) расходится. { Пусть
. Для
Т.к. ряд
- сходится, то, по признаку сравнения, сходится и остаток ряда
, а значит, сходится ряд
(1). Пусть для
. Т.е.
и
, не выполняется необходимое условие сходимости ряда. Ряд расходится. }
Теорема (признак Даламбера в предельной форме) :Если то при
ряд (1) сходится, при
расходится, при
этот признак не даёт возможности судить о поведении ряда.
{ a)
начиная с некоторого номера
Ряд сх.
б)
начиная с некоторого номера
>1. Ряд расх. }
5.Интегральный признак сходимости (Признак Коши - Маклорена)
Теорема (Коши - Маклорена):Пусть функция у = f(x) определена при х≥1, неотрицательна и монотонно убывает на ∞). Тогда ряд
, где
сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл
(2)
[Так как f(x) монотонна на ∞) , то она интегрируема по Риману на любом отрезке [1,
], поэтому имеет смысл
. Так как f(x)-убывает на
∞), то для
f(k+1)
. Проинтегрируем последнее неравенство по отрезку
:
, k=1,2,3.4...
Просуммируем по к:
Обозначим ,
Тогда
Пусть несобственный интеграл (2) сходится. Последовательность монотонна (
) и ограничена. Тогда ограничена и последовательность
. А поскольку она монотонно возрастает, то является сходящейся.
Пусть сходится ряд (1). Покажем, что сходится несобственный интеграл (2). Последовательность – монотонная, сходящаяся последовательность, следовательно, ограничена.
Тогда из (3) следует ограниченность возрастающей последовательности , а следовательно, её сходимость. То есть существует конечный
; интеграл (2) сходится.}
Пример : , s>0, Рассмотрим f(x)=
на [1,
);
Значит, ряд сходится при s>1 и расходится при s