Вероятности гипотез. Формула Бейеса.

Вероятности гипотез. Формула Бейеса.

P(A)=P(A|B₁)*P(B₁)+ P(A|B₂)*P(B₂)+…+ P(A|Bn)*P(Bn)- формула полной вероятности.

Событие А может наступить при условии появления одного из нескольких событий B₁,B₂,…,Bn, образующих полную группу.

Тка как, заранее не известно, какое из B₁,B₂,…,Bn произошло, их называют гиполтезами.

Пусть произведено испытание, в результате которого событие А произошло. Требуется найти вероятности гипотез B₁,B₂,…,Bn при условии, что А произошло, т.е. найти P(B₁|A), P(B₂|A),…, P(Bn|A); P(ABk)= P(A)*P(Bk|A)=P(Bk)*P(A|Bk),k=1,2,3,…,n

P(Bk|A)=P(Bk)*P(A|Bk)/P(A)

По формуле полной вероятности P(A) находим:P(Bk|A)=P(Bk)*P(A|Bk)/

Эти формулы называются формулами Бейеса. Они позволяют перераспределить вероятности гипотез B₁,B₂,…,Bn, если известно, что произошло событие А.

Последовательность неизвестных испытаний. Формула Бернулли.

Пусть проводится серия независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А может произойти с вероятностью р или не произойти с вероятностью q=1-р. Если серия состоит из n испытаний, то вероятность того, что событие А произошло m раз (не важно каких испытаний), равна Pn(m)= * , где – число сочетаний, равное =n!/m!(n-m)! – формула Бернулли.

Локалдная формула Муавра-Лапласа. Формула Пуассона.

Для больших значений n пользоваться формулой Бернулли неудобно, т.к. требуется вычислить n!(эн факториал). В этом случае применяют асимптотическую формулу Муавра-Лапласа(локальную): Pn(m) (1/ )*1/ * , гдеx=(m-np)/ (p не равно 0 и 1); (1/ * =φ(x).

Формула дает хорошее приближение при больших значениях n (чем больше, тем лучше). Однако этой формулой пользуются, когда параметр λ=np 10.

Имеются таблицы для значения функции φ(x)=(1/ * . Таблицы составлены для x>0.

φ(-x)= φ(x)- если функция четная.

Если λ=np<=10, то используют формулу Пуассона: Pn(m) )/m!

2.11

Пусть в серии из n независимых испытании вероятность появления события Апостоянна и равна р. Тогда для всех >0: .Х₁-случайная величина равная числу появлении события А в i-том испытании.Ясно,что Х_i=0 или 1. М(Х₁)=1*р+0*q=р, i=1,2,3…n. Применим к случайным величинам Х₁,Х₂…Х_n т.Чебышева.

. Учитывая,что Х₁+Х₂+…+Х_n=m(кол-во раз произошедших испытании) М(Х₁)=М(Х₂)=…=М(Х_n)=р

2.12

Ф-цией распределении случайной величины Х называют F(x)=P(X<x), равная вероятности того, что Х примет значение, меньше заданного числа (х-все числа).

Св-ва:

1)Область определения-все числа, область значения-[0;1] 2)F(x)-неубывающая ф-ция

3) ; 4)для дискретной случайной величины график ф-ции имеет вид: F(x)(тут нач. фигурная скобка) 0,если х х₁

р_1,если х₁<х х₂

р₁+р₂,если х₂<х х₃

……………………

(тут заканчивается фигурная скобка) р₁+р₂+…+р_n,если х_n<х

Для непрерыв. случайной величины вероятность принятия какого-либо конкретного значения бесконечно мала. Поэтому имеет смысл говорить о вероятности попадания в некоторый интервал (а;b). Вероятность того, что Х попадет в этот интервал равна P(X=(a;b))=F(b)-F(a)

2.13.Непрерывная случайная величина.Плотность распределения вероятностей,ее основные св-ва и вероятностный смысл.

Для непрерывной СВ ф-ция распространения явл. непрерывной.Для непрерывной СВ вероятность принятия какого-либо конкретного значения бесконечно мала.Поэтому,имеет смысл говорить о вероятности попадания в некоторый интервал.Плотностью распространения вероятностей непрерывной СВ Х назыв. 1-ая производная от ее ф-ции распределения f(x)=F’(x),т.е.F явл. первообразной для плотности распределения f.

Св-ва плотности вероятности:1)f(x)>=0,для всех х,принадлежащих R;2)интеграл f(x)dx=1-условие плотности вероятности.

2.14.Числовые характерики непрерывных СВ(мат.ожидание,дисперсия,среднеквадратическое отклонение,начальные и центральные моменты)

Мат.ожидание непрерывной СВ Х,определ.по формуле:M(x)=интеграл х*f(x)dx

Дисперсия:D(x)=byntuhfk(x-M(x))2F(x)dx

Среднее квадратическое отклонение:Σ(x)=D(x)

Начальный момент каждого порядка:Vk=интеграл от x2f(x)dx

Центральный момент каждого порядка:µk=интеграл от (х-М(х))2*f(x)dx

2.15.Нормальное распределение непрерывной СВ и его числовые хар-ки.Формулировкацентральной предельной теоремы Ляпунова.

Плотность вероятности нормального распределения имеет вид:

f(x)=1/σ2п*exp(-(x-a)2/2σ2), σ,a=const.

2.16.Оценка отклонения теоретического распределения от нормального.Правило «3 сигм».Асимметрия и эксцесс.

Правило «3 сигм»:Если случайная величина распределена нормально,то абсолютная величина ее отклонения от мат.ожидания не превосходит утроенной σ.

На практике поступают так: Если распределение изучаемой СВ неизвестно,то правило «3 сигм» выполнено,то есть все основания считать,что изучаемые СВ распределенынормально.В противном случае-не нормально.

2.17. Показательным(экспоненц-ным) назыв. Распределение вероятностей непрер. Случ. Величин, заданное формулой: λ>0 const

- Ф-ция показательного распределения

Момент времени наступления некот. События в простом потоке событий, т.е. непрер. СВ с показат. Распределением.

M(x)=∫ от 0 до + ∞ (xde^–λx)dx = 1/λ

D(x)=∫ от 0 до + ∞ ((1-1/x)^2 * λe^–dx)dx=1/ λ^2

δ(x)=корень из D(x)=1/ λ

Назовем элемент устройством. Элем нач. работать в момент врем. T0, а по истеч. врем. Длит-тью t происходит поломка. F(t)=P(T<t) вер-ть безотказной работы за время t=P(t)=p(T>=t)=1-F(t) – ф-ция надежности.

2.18. Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y,то Y называют функцией случайного аргумента.

Пусть Y = ф(X) – функция случайного аргумента Х, и требуется найти ее математическое ожидание, зная закон распределения Х.

Если Х – дискретная случайная величина, то

Если Х – непрерывная случайная величина, то M(Y) можно искать по-разному. Если известна плотность распределения g(y), то

Если же g(y) найти сложно, то можно использовать известную плотность распределения f(x):

2.19.

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины, плотность вероятности которого задается этой формулой наз. Распределением Стьюдента.

Пусть — совместно независимые стандартные нормальные случайные величины, то есть: . Тогда случайная величина

имеет распределение хи-квадрат с n степенями свободы.

Распределение фишера-снедекора - непрерывное сосредоточенное на распределение вероятностей с плотностью .

2.20. Двухмерная функция распределения двухмерной случайной величины

(Х, Y) равна вероятности совместного выполнения двух событий {Х < х} и

{Y < у}:

F(x,y)=p({X<x}⋅{Y<y}).

Закон распределения дискретной двумерной СВ наз. Соответствие возможных знач. Этой СВ и их вер-ти.

Свойства двухмерной плотности:

1

2 ,

3

4

5 неубывающая функция по каждому из своих аргументов при фиксированном другом аргументе.

2.21 Рассмотрим прямоугольник ABCD со сторонами, параллельными координатным осям. Пусть уравнения сторон таковы: Х=х₁, Х=х₂, У=у₁ и У=у₂. Найдем вероятность попадания случайной точки (Х, У) в этот прямоугольник. Искомую вероятность можно найти, например, так: из вероятности попадания случайной точки в полуполосу АВ с вертикальной штриховкой (эта вероятность равна F(x₂, y₂)-F(x₁, y₂) вычесть вероятность попадания точки в полуполосу CD с горизонтальной штриховкой (эта вероятность равна F(x₂, y₁)-F(x₁, y₁): Р(х₁<X<x₂, y₁<Y<y₂)=[F(x₂, y₂)-F(x₁, y₂)]-[F(x₂, y₁)-F(x₁, y₁)]

2.22Непрерывную двумерную величину можно задать, пользуясь дифференциальной функцией распределения. Здесь и далее мы будем предполагать, что интегральная функция всюду непрерывна и имеет всюду непрерывную смешанную частную производную второго порядка. Дифференциальной функцией распределения f(x, y) двумерной непрерывной случайной величины (Х, У) называют вторую смешанную частную производную от интегральной функции: f(x, y)=( δ² F(x, y))/( δx δy). Геометрически эту функцию можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения.

2.23 Плотностью совместного распределения вероятностей двумерной СВ (Х,У) называют смешанную производную второго порядка от функций распределения F(х,у). f(х,у)=∂² F(х,у)/∂х∂у. Функция распределения F(х,у)=∫∫ f(x,у) dxdy. Вероятностный смысл плотности вероятности: P( х<x<+∆x; у<Y<y+∆y)≈f (x,у)*∆х∆у.

2.24 Пусть (Х,У) дискретная двумерная случайная величина с возможными значениями : (х_iy_i); i=1, 2,…к, j=1,2,…L. Вероятность того, что Х=хi при условии У=у_j обозначим через Р(х_i|y_i), i=1,2,…К, j=1,2,…, L. Условное распределение величины Х при условии, что У=yj, называется совок-ть условных вероятностей: Р(х₁|y_i), Р(х₂|y_i)…Р(х_i|y_i).Условная вероятность вычисляется по формуле Р(х_i|y_i)= Р(х_i|y_i)/ Р(y_i). Аналогично определяется распределение величины У при условии, что Х=Хi.

Вероятности гипотез. Формула Бейеса.

P(A)=P(A|B₁)*P(B₁)+ P(A|B₂)*P(B₂)+…+ P(A|Bn)*P(Bn)- формула полной вероятности.

Событие А может наступить при условии появления одного из нескольких событий B₁,B₂,…,Bn, образующих полную группу.

Тка как, заранее не известно, какое из B₁,B₂,…,Bn произошло, их называют гиполтезами.

Пусть произведено испытание, в результате которого событие А произошло. Требуется найти вероятности гипотез B₁,B₂,…,Bn при условии, что А произошло, т.е. найти P(B₁|A), P(B₂|A),…, P(Bn|A); P(ABk)= P(A)*P(Bk|A)=P(Bk)*P(A|Bk),k=1,2,3,…,n

P(Bk|A)=P(Bk)*P(A|Bk)/P(A)

По формуле полной вероятности P(A) находим:P(Bk|A)=P(Bk)*P(A|Bk)/

Эти формулы называются формулами Бейеса. Они позволяют перераспределить вероятности гипотез B₁,B₂,…,Bn, если известно, что произошло событие А.