Формула полной вероятности и формулы Бейеса

Формула полной вероятности.Пусть пространство Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru некоторого вероятностного эксперимента представимо в виде объединения попарно несовместных событий Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru , т. е.

Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru ,

для которых известны вероятности Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru . Такие события называются гипотезами.

Рассматривается некоторое событие A, которое может появиться только вместе с одной из гипотез Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru . Заданы условные вероятности наступления события A при осуществлении каждой из гипотез Hi: Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru .

Тогда вероятность события А вычисляется применяя следующую теорему:

Теорема 1.5. Если событие A может произойти при появлении одной из гипотез Hi, i=1, 2, …, Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru , то его вероятность равна сумме произведений вероятностей каждой гипотезы и соответствующих условных вероятностей события A:

Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru (1.14)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как событие Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru может произойти с одной из гипотез Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru , то его можно представить в виде суммы (объединения) попарно несовместных событий Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru :

Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru или Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru .

Применяя аксиому 3 Колмогорова и теорему умножения вероятностей, получим утверждение теоремы:

Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru ,

где Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru или Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru . Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru

Формула (1.14) называется формулой полной вероятности.

Пример 1.13.В опыте имеются три одинаковые на вид урны; в первой урне 2 белых шара и 3 черных, во второй – 4 белых шара и 1 черный, в третьей – 3 белых шара. Наугад из любой урны вынимается один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Решение. Эксперимент состоит в том, что наудачу извлекается шар из любой урны. Введем класс событий: событие A ={извлекается белый шар} и три гипотезы: H1 = {выбрана первая урна}; H2 = {выбрана вторая урна}; H3 = ={выбрана третья урна}.

Так как урны по условию примера совершенно одинаковы, то вследствие симметрии тел, вероятности всех трех гипотез равны:

P(H1) = P(H2) = P(H3) = Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru .

Условные вероятности события Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru ={извлечение белого шара, при условии, что выбрана Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru тая урна}, Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru вычислим по классической формуле:

Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru .

Применив формулу полной вероятности (1.14), найдем вероятность события А:

P(A) = Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru .

Ответ: вероятность события A ={извлечение белого шара} равна Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru .

Пример 1.14. Изделия определенного вида изготавливаются тремя заводами. В магазин поступили изделия, изготовленные на трех заводах. Среди них 30% изготовлено первым заводом, 25% -- вторым и 45% -- третьим заводами соответственно. На первом заводе 97% составляют изделия высшего качества, на втором – 98% и на третьем – 99% соответственно. Определить вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется не высшего качества.

Решение. Эксперимент, описанный в примере, состоит в выборе наудачу изделия. Построим класс событий, описывающих данный эксперимент:

событие Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru взятое наудачу изделие не высшего качества Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru ;

события Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru изделие произведено на Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru том заводе Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru , Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru

Событие Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru может произойти с одной из гипотез Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru Поэтому, для вычисления его вероятности применим формулу полной вероятности (1.14): Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru .

В соответствии с условием задачи вероятности гипотез равны:

Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru .

События Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru изделие не высшего качества произведено Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru -том заводе Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru , Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru Изделия не высшего качества в продукции заводов №1, №2 и №3 соответственно составляют: 3%, 2% и 1%. Поэтому условные вероятности событий Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru , равны: Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru .

Применяя формулу полной вероятности, находим искомую вероятность:

Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru 0,3 Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru 0,3 + 0,25 Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru 0,2 +

+ 0,45 Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru 0,1=0,185.

Ответ: вероятность того, что наудачу взятое изделие, окажется не высшего качества, равна 0,185.

Из приведенных примеров видно, что формула полной вероятности позволяет получить ответ, минуя построение пространства элементарных событий.

Формулы Бейеса. Пусть пространство W некоторого вероятностного эксперимента представимо в виде объединения попарно непересекающихся событий Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru , называемых гипотезами:

Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru ; Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru , Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru .

Вероятности гипотез до опыта (так называемые "априорные вероятности") Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru известны и Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru . Условные вероятности Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru наступления события Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru при условии появления гипотез Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru заданы.

Теперь предположим, что опыт произведен и пусть в результате реализации эксперимента наступает событие A. Тогда возникает вопрос, как изменяются вероятности гипотез при наступлении события A? Или, другими словами, спрашивается: как найти "апостериорные" вероятности гипотез Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru , при условии, что в результате эксперимента появилось событие A?

Вероятности гипотез в этом случае вычисляются применяя следующую теорему.

Теорема 1.6. Пусть A – некоторое событие и Hi, Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru , попарно несовместимые события, такие, что Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru . Тогда, если P(A) > 0, то

Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru (1.15)

Формулы (1.15) называются формулами Байеса.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru фиксировано, то формула (1.15) является другой формой записи условной вероятности

Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru ,

где вероятность в числителе можно вычислить по теореме умножения: Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru (теорема 1.2), а в знаменателе записать формулу полной вероятности (1.14). Теорема доказана. Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru

Вероятности Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru называют иногда апостериорными вероятностями событий Hi, Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru , после того, как наступило событие A.

Замечание. Из доказанных теорем следует, что вероятность, приписываемая событию, изменяется тем больше, чем больше информации получено о случайном эксперименте. И, наконец, если мы имеем полную информацию, эксперимент перестает быть случайным.

Пример 1.15 . Имеется три урны; в первой урне 3 белых шара и 1 черный, во второй – 2 белых шара и 3 черных, в третьей – 3 белых шара. Наугад из одной из урн вынимается 1 шар. Этот шар оказался белым. Найти послеопытные (апостериорные) вероятности того, что шар вынут из первой, второй, третьей урны.

Решение. Эксперимент состоит в том, что наудачу извлекается шар из любой урны. Введем класс событий: событие A ={извлекается белый шар} и три гипотезы: H1 = {выбрана первая урна}; H2 = {выбрана вторая урна}; H3 = ={выбрана третья урна}.

Так как урны по условию примера совершенно одинаковы, то вследствие симметрии тел, вероятности всех трех гипотез равны:

P(H1) = P(H2) = P(H3) = Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru .

Условные вероятности события Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru ={извлечение белого шара, при условии, что выбрана Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru тая урна}, Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru вычислим по классической формуле:

Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru .

Применив формулу полной вероятности (1.14), найдем вероятность события Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru :

Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru .

Применяя формулу Бейеса (1.15), находим апостериорные вероятности гипотез:

Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru ; Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru ; Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru .

Таким образом, вследствие информации о появлении события A, вероятности гипотез изменились – самой вероятной стала гипотеза H3, наименее вероятной – гипотеза H2.

Ответ: вероятности того, что шар вынут из первой, второй и третей урны соответственно равны: Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru .

Пример 1.16. В партии изделий смешаны изделия трех изготовителей: N1 изделий первого, N2 изделий второго, N3 изделий третьего. Вероятность дефекта для изделий Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru го ( Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru 1, 2, 3) изготовителя равна Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru . Взято наугад одно изделие из смешанной партии, которое оказалось дефектным. Найти вероятность того, что оно изготовлено Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru ым изготовителем.

Решение. Эксперимент состоит в выборе наугад одного изделия из смешенной партии. Введем класс событий:

Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru взятое изделие оказалось дефектным Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru ;

Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru изделие изготовлено Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru тым изготовителем}, Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru .

Априорные (до опыта) вероятности гипотез:

Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru , ( Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru ).

Условные вероятности события Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru : Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru .

По формуле Байеса апостериорные (после опыта) вероятности гипотез равны:

Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru , Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru 1, 2, 3.

Тем самым определяем вероятность того, что дефектное изделие изготовлено Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru тым изготовителем.

Ответ: вероятность того, что изделие изготовлено Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru тым изготовителем, равна Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru

Вопросы для самопроверки

1.Как называютсясобытия, которые представляют пространство элементарных событий?

2.Если событие Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru может произойти с одной из гипотез Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru , то его вероятность вычисляется по формуле?

3.Если событие Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru может произойти с одной из гипотез Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru , то будут ли совместными события Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru ?

4.Если событие Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru может произойти с одной из гипотез Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru , то вероятности событий Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru , неизвестны?

5.Если событие Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru может произойти с одной из гипотез Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru , то после его появления, вероятности гипотез Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru , не изменяются?

6.По какой формуле вычисляются вероятности гипотез Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru , после появления события Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru ?

Резюме

Мы рассмотрели теоретико-множественный подход к теории вероятностей, основанный на понятиях множества элементарных событий W, множествах подмножеств Формула полной вероятности и формулы Бейеса - student2.ru , образующих s-алгебру и на котором задается неотрицательная нормированная мера - вероятность, аксиоматику Колмогорова, различные методы определения вероятностей событий, а также косвенные методы, позволяющие по известным вероятностям одних событий определять вероятности других событий, с ними связанных.

Наши рекомендации