Формула полной вероятности. Формулы Бейеса

1.Литье в болванках поступает из трех заготовительных цехов: 50% - из первого, 30% - из второго и 20% - из третьего. При этом материал первого цеха имеет 8% брака, второго – 6%, третьего – 4%. Найти вероятность того, что наудачу взятая болванка не имеет дефектов.

2.Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к число легковых машин, проезжающих по тому же шоссе, как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

3.В ящике содержатся 12 деталей, изготовленных на первом заводе, 20 деталей - на втором заводе и 11 деталей - на третьем заводе. Вероятность того, что деталь, изготовленная на первом заводе, отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на втором и третьем заводах, эта вероятность соответственно равна 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наугад деталь окажется отличного качества.

4.Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй - 84%. Наугад взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

5.Детали, изготовленные цехом, попадают для проверки на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру, равна 0,6, ко второму - 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, вторым - 0,91. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

6.Изделие проверяется на стандартность одним из трех товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,35, ко второму - 0,4, к третьему - 0,25. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, вторым - 0,85, третьим - 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед.

7.В вычислительной лаборатории имеется 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95; для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Производится расчет на машине, выбранной наугад. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.

8.При разрушении шестерни образуются крупные, средние и мелкие осколки, причем число крупных осколков составляет 0,1 из общего числа, средних и мелких - соответственно 0,3 и 0,6 общего числа осколков. Крупный осколок пробивает экран с вероятностью 0,9, средний - 0,3, мелкий - 0,1. Какова вероятность того, что попавший осколок пробьет экран?

9.Прибор, установленный на борту самолета, может работать в двух режимах: в условиях нормального крейсерского полета и в условиях перегрузки при взлете и посадке. Крейсерский режим полета осуществляется в 80% всего времени полета, условия перегрузки - в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время полета в нормальном режиме равна 0,1, в условиях перегрузки - 0,4. Вычислить надежность (вероятность безотказной работы) прибора за время полета.

10.Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму - 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым - 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед.

11.Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, оперативной памяти и остальных устройствах относятся как 3:2:5. Вероятность обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, оперативной памяти и остальных устройствах соответственно 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность, того, что возникший в машине сбой обнаружен.

12.На сборку поступило 3000 деталей с первого автомата и 2000 - со второго. Первый автомат дает 0,2% брака, а второй - 0,3%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали.

13.На вход радиолокационного устройства с вероятностью 0,8 поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 0,2 - только помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует наличие какого-то сигнала с вероятностью 0,7; если только помеха, то с вероятностью 0,3. Известно, что устройство зарегистрировало наличие какого-то сигнала. Найти вероятность того, что в его составе есть полезный сигнал.

14.Среди 350 механизмов 160 - первого, 110 - второго, 80 -третьего сорта. Вероятность брака среди механизмов первого сорта 0,01, второго сорта - 0,02, третьего сорта - 0,04. Берется один механизм. Определить вероятность того, что механизм исправный.

15.На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 25%, вторая - 35%, третья - 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный?

16.Специалист высокой квалификации собирает 30% приборов, средней квалификации -70%. Надежность работы прибора, собранного специалистом высокой квалификация, 0,9, средней квалификации - 0,8. Взятый прибор оказался надежным. Определить вероятность того, что он собран специалистом высокой квалификации.

17.В ящике содержатся 12 деталей, изготовленных на первом заводе, 20 деталей - на втором заводе и 11 деталей - на третьем заводе. Вероятность того, что деталь, изготовленная на первом заводе, отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на втором и третьем заводах, эта вероятность соответственно равна 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наугад деталь окажется отличного качества.

18.Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй - 84%. Наугад взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

19.На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляются детали одного наименования: на первом станке -10%, на втором - 30%, на третьем - 60% всех деталей. Вероятность того, что каждая деталь бездефектна, равна 0,7, если она изготовлена на первом станке; 0,8 - если на втором; 0,9, если на третьем. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бездефектной.

20.Детали, изготовленные цехом, попадают для проверки на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру, равна 0,6, ко второму - 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, вторым - 0,91. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

21.Два охотника одновременно стреляют в цель. Вероятность попадания у первого охотника равна 0.2, у второго – 0.6. В результате первого залпа оказалось одно попадание в цель. Чему равна вероятность того, что промахнулся первый охотник?

22.Завод выпускает за три месяца 20, 30, 50% задания, причём вероятность брака соответственно составляет 0.01, 0.012, 0.015. Найти вероятность того, что изделие выпущено в первом месяце, если в нём обнаружен дефект.

23.В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна.Вероятность выполнить квалификационную нормутакова: для лыжника – 0,9, для велосипедиста – 0,8, для бегуна – 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму.

24.Сборщик получил три коробки деталей, изготовленных заводом №1, и 2 коробки, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0,8, а заводом №2 – 0,9. Сборщик наудачу извлёк деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.

25.В телеателье имеется 4 кинескопа. Вероятность того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соответственно равны 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок службы.

26.В каждой из урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую. Найти вероятность того, что извлеченный из второй урны шар окажется белым.

27. Три станка производят соответственно 50%, 30% и 20% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 1%, 2% и 1,5%. Какова вероятность того, что взятое наудачу изделие удовлетворяет стандарту?

28.В пирамиде установлены 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом, или без него?

29.В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием K, 30% с заболеванием L, 20% с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К, равна 0,7; для болезней L и М вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.

30.Турист, заблудившийся в лесу, вышел на поляну, от которой в разные стороны ведут пять дорог. Если турист пойдет по первой дороге, то вероятность выхода из леса туриста составляет 0,6; если по второй – 0,3; если по третьей – 0,2; если по четвертой – 0,1; если по пятой – 0,1. Какова вероятность того, что турист пошел по первой дороге, если он вышел из леса?

ЗАДАЧА №4.