Взаимное расположение точки, прямых и плоскостей

Взаимное расположение точки и прямой

Возможны два варианта расположения точки относительно прямой:

1) точка принадлежит прямой (рис. 3.1 а), тогда, согласно основным свойствам прямоугольного проецирования[4], на КЧ ее проекции лежат на одноименных проекциях прямой.

взаимное расположение точки, прямых и плоскостей - student2.ru ;

2) точка не принадлежит прямой (рис. 3.1 б), если хотя бы одна из проекций точки не принадлежит проекции прямой.

взаимное расположение точки, прямых и плоскостей - student2.ru ; взаимное расположение точки, прямых и плоскостей - student2.ru .

взаимное расположение точки, прямых и плоскостей - student2.ru

Рис. 3.1

Взаимное расположение прямых

Прямые в пространстве могут занимать относительно друг друга одно из трех положений:

1) быть параллельными;

2) пересекаться;

3) скрещиваться.

Параллельными называются прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

взаимное расположение точки, прямых и плоскостей - student2.ru

Рис. 3.2

Если прямые параллельны друг другу, то на КЧ их одноименные проекции тоже параллельны (см. п. 1.2).

взаимное расположение точки, прямых и плоскостей - student2.ru .

Пересекающимися называются прямые, лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку.

У пересекающихся прямых на КЧ одноименные проекции пересекаются в проекциях точки А. Причем фронтальная ( взаимное расположение точки, прямых и плоскостей - student2.ru ) и горизонтальная ( взаимное расположение точки, прямых и плоскостей - student2.ru )проекции этой точки должны находиться на одной линии связи.

взаимное расположение точки, прямых и плоскостей - student2.ru .

взаимное расположение точки, прямых и плоскостей - student2.ru

Рис. 3.3

Скрещивающимися называются прямые, лежащие в параллельных плоскостях и не имеющие общих точек.

взаимное расположение точки, прямых и плоскостей - student2.ru

Рис. 3.4

Если прямые скрещивающиеся, то на КЧ их одноименные проекции могут пересекаться, но точки пересечений одноименных проекций не будут лежать на одной линии связи.

На рис. 3.4 точка С принадлежит прямой b, а точка D – прямой а. Эти точки находятся на одинаковом расстоянии от фронтальной плоскости проекций. Аналогично точки E и F принадлежат разным прямым, но находятся на одном расстоянии от горизонтальной плоскости проекций. Поэтому на КЧ их фронтальные проекции совпадают.

Принадлежность прямой и точки плоскости

Возможны два случая расположения точки относительно плоскости: точка может принадлежать плоскости или не принадлежать ей (рис. 3.5).

Признак принадлежности точки и прямой плоскости:

Точка принадлежит плоскости, если принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.

Прямая принадлежит плоскости, если имеет с ней две общие точки или имеет с ней одну общую точку и параллельна другой прямой, лежащей в этой плоскости.

взаимное расположение точки, прямых и плоскостей - student2.ru

Рис. 3.5

На рис. 3.5 изображена плоскость взаимное расположение точки, прямых и плоскостей - student2.ru и точки D и Е. Точка D принадлежит плоскости, т. к. принадлежит прямой l, имеющей с этой плоскостью две общие точки – 1 и А. Точка Е не принадлежит плоскости, т.к. через нее нельзя провести прямую, лежащую в данной плоскости.

взаимное расположение точки, прямых и плоскостей - student2.ru



На рис. 3.6 показана плоскость взаимное расположение точки, прямых и плоскостей - student2.ru и прямая t, лежащая в этой плоскости, т.к. имеет с ней общую точку 1 и параллельна прямой а.

взаимное расположение точки, прямых и плоскостей - student2.ru .

взаимное расположение точки, прямых и плоскостей - student2.ru

Рис. 3.6

Линии уровня плоскости

Линиями уровня плоскости называются прямые, лежащие в плоскости и параллельные одной из плоскостей проекций.

Существуют три линии уровня плоскости: горизонталь плоскости, фронталь плоскости и профильная прямая плоскости.

1. Горизонталь плоскости – прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций.

взаимное расположение точки, прямых и плоскостей - student2.ru

Рис. 3.7

Признаки и свойства горизонтали плоскости:

1) все горизонтали плоскости параллельны друг другу;

2) фронтальный след горизонтали (точка F) принадлежит фронтальному следу плоскости;

3) горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости.

взаимное расположение точки, прямых и плоскостей - student2.ru

Рис. 3.8

На рис. 3.8 приведена плоскость общего положения, заданная взаимное расположение точки, прямых и плоскостей - student2.ru ,и принадлежащая ей горизонталь h. Если плоскость не задана следами, то построение горизонтали плоскости начинают с построения ее фронтальной проекции, идущей параллельно оси х. Т.к. горизонталь принадлежит плоскости, то она имеет с ней две общие точки – 1 и С. Зная их фронтальные проекции взаимное расположение точки, прямых и плоскостей - student2.ru и взаимное расположение точки, прямых и плоскостей - student2.ru , по линиям связи можно получить горизонтальные проекции взаимное расположение точки, прямых и плоскостей - student2.ru и взаимное расположение точки, прямых и плоскостей - student2.ru ,а затем, соединив между собой, получить горизонтальную проекцию горизонтали.

2. Фронталь плоскости – прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций.

взаимное расположение точки, прямых и плоскостей - student2.ru

Рис. 3.9

Признаки и свойства фронтали плоскости:

1) все фронтали плоскости параллельны друг другу;

2) горизонтальный след фронтали (точка H) принадлежит горизонтальному следу плоскости;

3) фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу плоскости.

Если плоскость не задана следами, то построение фронтали плоскости начинают с построения ее горизонтальной проекции, идущей параллельно оси х (рис. 3.8). Т.к. фронталь принадлежит плоскости, то имеет с ней две общие точки – 2 и А. Имея их горизонтальные проекции взаимное расположение точки, прямых и плоскостей - student2.ru и взаимное расположение точки, прямых и плоскостей - student2.ru , по линиям связи можно получить фронтальные проекции взаимное расположение точки, прямых и плоскостей - student2.ru и взаимное расположение точки, прямых и плоскостей - student2.ru ,а затем, соединив между собой, получить фронтальную проекцию фронтали.

3. Профильная прямая плоскости – прямая лежащая в плоскости и параллельная профильной плоскости проекций (рис. 3.10).

Признаки и свойства профильной прямой плоскости:

1) все профильные прямые плоскости параллельны друг другу;

2) фронтальный след профильной прямой (точка F) принадлежит фронтальному следу плоскости, а ее горизонтальный след (точка H) – горизонтальному следу плоскости;

3) профильная проекция профильной прямой параллельна профильному следу плоскости.

Если плоскость не задана следами, то построение профильной прямой плоскости начинают с построения ее фронтальной или горизонтальной проекций, идущих перпендикулярно оси х (рис. 3.10).

взаимное расположение точки, прямых и плоскостей - student2.ru

Рис. 3.10

Наши рекомендации