В группе из 100 туристов 70 человек знают английский язык, 45 знают французский язык и 23 человека знают оба языка. Сколько туристов в группе не знают ни английского, ни французского языка?
Решение задачи:
Обозначим: U – универсальное множество, т.е. множество всех туристов,
А – множество туристов, знающих английский язык,
B – множество туристов, знающих французский язык.
Проиллюстрируем:
 |
Необходимо найти количество туристов, не знающих ни одного языка, т.е. количество элементов множества D = U \ (AÈB) (на рисунке заштриховано).
Дано (по условию): m(U) = 100 (чел.)
m(A) = 70 (чел.)
m(B) = 45 (чел.)
m(AÇB) = 23 (чел.)
Найти: ` m(D) = m(U) – m(AÈB) - ?
Решение: Используя формулу, находим количество туристов, знающих хотя бы один язык:
m(AÈB) = m(A) + m(B) – m(AÇB) = 70 + 45 - 23 = 92, Þ
количество туристов, не знающих ни одного языка:
m(D) = m(U) - m(AÈB) = 100 – 92 = 8 (чел.)
Ответ: 8 чел.
Аналогично решить задачи № 2, 3, 4.
2.Из 40 предложений 30 содержат предлог «в», 27 предлог «на», в пяти предложениях нет ни того, ни другого. Сколько предложений содержат оба предлога?
3.20 мальчиков поехали на пикник. При этом 5 из них обгорели, 8 были сильно покусаны комарами, а 10 остались всем довольны. Сколько обгоревших мальчиков не было покусано комарами? Сколько покусанных комарами мальчиков также и обгорели? (Сформулируйте эту задачу как: 1) лингвистическую, например: анализ наличия 2 морфем в словах; 2) в общем виде, используя понятия: множество, подмножества и их элементы).
4.В штучном отделе магазина посетители обычно покупают либо один торт, либо одну коробку конфет, либо один торт и одну коробку конфет, В один из дней было продано 57 тортов и 36 коробок конфет. Сколько было покупателей, если 12 человек купили и торт, и коробку конфет?
5. В олимпиаде по иностранному языку принимало участие 40 студентов, им было предложено ответить на один вопрос по лексикологии, один по страноведению и один по стилистике. Результаты проверки ответов представлены в таблице:
| Получены правильные ответы на вопросы | Колич-во ответивших |
| по лексикологии | |
| по страноведению | |
| по стилистике | |
| по лексикологии и страноведению | |
| по лексикологии и стилистике | |
| по страноведению и стилистике |
Известно также, что трое не дали правильных ответов ни на один вопрос. Сколько студентов правильно ответили на все три вопроса? Сколько студентов правильно ответили ровно на два вопроса?
Решение задачи:
Обозначим:
U – универсальное множество, т.е. множество всех студентов,
A – множество студентов, правильно ответивших на вопросы по лексикологии,
B – множество студентов, правильно ответивших на вопросы по страноведению,
С – множество студентов, правильно ответивших на вопросы по стилистике,
D - множество студентов, не давших ни одного правильного ответа.
Проиллюстрируем:
Дано (по условию): m(U) = 40 (чел.) m(D) = 3 (чел.)
m(A) = 20 (чел.) m(AÇB) = 7 (чел.)
m(B) = 18 (чел.) m(AÇC) = 8 (чел.)
m(C) = 18 (чел.) m(BÇC) = 9 (чел.)
Найти: 1) m(AÇBÇC) - ? 2) сколько студентов ответили ровно на 2 вопроса?
Решение:
1) Пересечение трех множеств разбивает универсальное множество на классы, т.е. на попарно непересекающиеся непустые подмножества. Обозначим число элементов в каждом классе маленькими латинскими буквами (см. рисунок). Можно проверить (и доказать!), что
m(AÈBÈC) = m(A) + m(B) + m(C) – m(AÇB) – m(AÇC) – m(BÇC) + m(AÇBÇC)
Очевидно, что m(AÈBÈC) = m(U) – m(D) = 40 – 3 = 37
Подставив в формулу известные данные, получим:
37 = 20 + 18 + 18 – 7 – 8 – 9 + m(AÇBÇC) è m(AÇBÇC) = 5
Итак, на три вопроса ответили 5 студентов
2) Чтобы найти количество студентов, правильно ответивших ровно на два вопроса, необходимо найти и сложить d, e, f:
d + e + f = (8 – m(AÇBÇC)) + (7 – m(AÇBÇC)) + (9 – m(AÇBÇC)) = 3 + 2 + 4 = 9
Ответ: 1) 5; 2) 9