I. Понятие производной высших порядков

Пусть - дифференцируемая на интервале функция. Тогда ее производная - тоже функция, определенная на интервале . И у нее можно найти производную, называемую производной второго порядка или второй производной. Итак, производная от первой производной называется второй производной функции и обозначается или .

Пример 1. Найдите вторую производную функции .

Решение. Найдем у': .

Найдем как производную от у': = .

Ответ: = .

Вторая производная – тоже представляет собой функцию, следовательно, существует производная второй производной ( )', называемая третьей производной или . Так, в примере 1. =( )'=6.

Аналогично вводится определение четвертой производной ;

пятой производной ;

п-й производной .

Таким образом, производной п-го порядка функции называется производная от производной (п-1)-го порядка (если она существует).

Пример 2. Найдите четвертую производную функции .

Решение. Найдем у' как производную сложной функции (и=3х):

.

Найдем как производную от у': =( )'= = .

=( )' = .

у⁽⁴⁾=( )' = = .

Ответ: у⁽⁴⁾= .

Пример 3. Найдите п-ю производную функции .

Решение. Найдем как производную сложной функции (и=2х):

= = .

=( )'= = .

=( )'= = .

Очевидно, что у^(п)= .

Ответ: у^(п)= .

II. Правило Лопиталя

Если при вычислении предела функции возникает неопределенность вида или вида , и никакой из существующих приемов ее раскрытия не работает, на помощь придет правило Лопиталя. Под правилом Лопиталя понимают прием раскрытия неопределенностей вида или .

Теорема (правило Лопиталя). Для вычисления предела , где = , достаточно найти предел отношения производных данных функций (если он существует), т.е. = .

Замечание. 1. Правило Лопиталя справедливо также для случаев

· неопределенности вида при х→∞;

· неопределенности вида при х→х_о и х→∞.

2. Правило Лопиталя может быть применено последовательно несколько раз для раскрытия неопределенностей вида или .

Рассмотрим примеры нахождения пределов функций с использованием правила Лопиталя.

Пример 4. Вычислите .

Решение. Поскольку в примере встречается неопределенность вида , можно применить правило Лопиталя:

= = =е⁰=1.

Ответ: =1.

Пример 5. Вычислите .

Решение. Поскольку в примере рассматривается неопределенность вида , можно применить правило Лопиталя:

= = . Снова получили неопределенность вида , следовательно, можно применить правило Лопиталя еще раз:

= = . Повторно применяя правило Лопиталя, получим

= = =0, т.к. е^х→∞ при х→∞.

Ответ: =0.

Пример 6. Вычислите .

Решение. Поскольку при х→0 функция lnx→∞, то имеет место неопределенность вида (0∙∞) и правило Лопиталя применить нельзя. Попытаемся преобразовать выражение, стоящее под знаком предела: = . Тогда под знаком предела будет неопределенность вида , к которой правило Лопиталя применимо:

= = = = =- =- =0.

Ответ: =0.

Список литературы:

1. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 7, § 37, стр. 218-220.

2. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2004. – 320с. – Глава 6, §6.3, стр. 127 – 130; §6.5, стр. 132 – 134.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 4, §5, стр. 239– 240.