Глава 5. Применение производных

Глава 5. Применение производных

Правило Лопиталя.

Среди неопределенных выражений чаще всего приходится встречаться с неопределенностями типа или . При их раскрытии очень помогает так называемое правило Лопиталя.

Раскрытие неопределенностей типа .

Теорема 1. Пусть

а) функции и определены и непрерывны на ;

б) в существуют и , причем ;

в) ;

г) .

Тогда .

Доказательство.

В точке а функции и не определены. Доопределим их по непрерывности, полагая . Тогда по формуле Коши

,

где . Поэтому при также будет . Переходя к пределу, получим

,

так как последний предел существует. <

Теорема 2.

Пусть

а) функции и определены и непрерывны на ;

б) в существуют и , причем ;

в) ;

г) .

Тогда .

Доказательство.Сделаем «замену переменной» . Тогда при и мы можем воспользоваться предыдущей теоремой. Имеем

,

что и доказывает теорему. <

Несмотря на свою внешнюю простоту, правило Лопиталя довольно сложно при его практическом использовании. При практическом применении этого правила следует иметь в виду следующие рекомендации:

а) прежде, чем находить рекомендуется выражение упрощать, насколько это возможно;

б) если при вычислении снова подучилась неопределенность, то применить правило Лопиталя еще раз. Однако перед его повторным применением рекомендуется выделить отдельно сомножители, не стремящиеся к нулю, и заменить их предельными значениями.

Рассмотрим два примера на эти рекомендации.

Пример 1.

Вычислить .

Решение. Используем правило Лопиталя. Имеем

И вот тут не имеет смысла сразу подставлять , так как снова получилась неопределенность. Не имеет также смысла сразу применять правило Лопиталя еще раз - залезем в такие дебри, из которых не выберемся. Поэтому сначала упрощаем - убираем «трехэтажность» и сокращаем сомножитель :

И вот тут уже можно смело подставить , так как нет никакой неопределенности:

=2.

Пример 2.

Вычислить .

Решение. Используем правило Лопиталя и упрощаем. Имеем

У нас снова получилась неопределенность. Но, прежде чем применять правило Лопиталя еще раз, надо сначала выделить сомножители, не стремящиеся к 0, и вычислить их предел отдельно:

А вот теперь к оставшемуся выражению применяем правило Лопиталя еще два раза:

.

Раскрытие неопределенностей типа .

Теорема. Пусть

а) функции и определены и непрерывны на ;

б) в существуют и , причем ;

в) ;

г) .

Тогда .

Доказательство.

Ввиду громоздкости доказательства, разобьем его на части.

А) Избавление от производных.

В условии теоремы сказано, что . Это значит, что

.

Возьмем х и х₀ так, чтобы было . Тогда, по формуле Коши,

,

и . Поэтому для этих х и х₀ имеем

.

В дальнейшем х₀ фиксируем.

Б) Полезное соотношение.

Имеем, раскрывая скобки,

.

Исходное выражение взято «с потолка». Отсюда получаем

.

В) Предельный переход.

При . Поэтому

.

Это означает, что

.

Берем . Тогда

,

так как <1. Это, по определению предела, и означает, что .<

Заметим, что правило Лопиталя позволяет раскрывать и неопределенности типа , если произведение привести к виду или .

Заметим еще, что обратное, вообще говоря, не верно: из существования предела отношения не следует существование предела отношения .

Экстремумы функции.

Определение 1. Говорят, что в точке x₀ функция имеет локальный максимум (локальный минимум), если

( ).

В этом определении обратите внимание на слово «локальный». Оно означает, что принимает свое наибольшее значение в точке x₀ только по отношению к отрезку . Вне этого отрезка о поведении функции ничего не утверждается: она может принять там и значение, большее чем . То же самое можно сказать и по отношению к локальному минимуму (см. рис.).

Определение 2. Говорят, что функция имеет в точке x₀ глобальный максимум (минимум) на множестве Х, если .

Термины «максимум» и «минимум» объединяют одним словом «экстремум» и говорят о локальном или глобальном экстремуме. Отметьте еще, что для непрерывной функции локальные максимумы или минимумы чередуются.

Нахождение локальных экстремумов - одна из важнейших задач исследования функций имеющая большое практическое значение. Перейдем к ее изучению.

Пусть функция определена на некотором отрезке . Научимся сначала находить локальные экстремумы, расположенные внутри этого отрезка.

Граничные точки

Рассмотрим, наконец, граничные точки a и b отрезка . Здесь поведение функции может быть следующим:

Таким образом, то, что мы имеем в граничных точках, определяется знаком первой производной.

Подведем итоги.

Свойства выпуклых функций.

1. Если выпукла и , то выпукла. Если выпукла и , то вогнута.

Это свойство очевидно.

2. Если и выпуклы, то выпукла.

Это свойство также очевидно.

3. Выпуклость суперпозиции функций.

Рассмотрим сложную функцию . Тогда рассматриваемое свойство может быть представлено в виде следующей таблицы:

Таблица 1.

	j	f	j(f)
1. 2. 3. 4.	Выпукла, ­ Выпукла, ¯ Вогнута, ­ Вогнута, ¯	Выпукла Вогнута Вогнута Выпукла	Выпукла Выпукла Вогнута Вогнута

Докажем, для примера, свойство 1.

Начинаем со свойств функции f:

выпукла Þ .

Заканчиваем свойствами функции j в таком порядке: сначала - монотонность, потом - выпуклость-вогнутость:

(сработала монотонность)

(сработала выпуклость функции j).

Сравнивая начало и конец, получаем, что сложная функция j(f) выпукла. <

Остальные свойства доказываются аналогично.

4. Выпуклость-вогнутость обратной функции.

Пусть дана некоторая функция и есть функция, обратная к ней. Доказываемые свойства приведены в таблице.

1. 2. 3. 4.	Выпукла, ­ Выпукла, ¯ Вогнута, ¯ Вогнута, ­	Вогнута, ­ Выпукла, ¯ Вогнута, ¯ Выпукла, ­

Монотонность обратной функции доказана в главе 3.

Докажем, для примера, свойство 1. Так как, если , то , мы имеем:

, ;

, .

Сначала срабатывает выпуклость функции :

.

Перепишем это неравенство в обратном порядке

и подействуем на него обратной функцией. У нее срабатывает свойство монотонности:

.

Сравнивая начало и конец, получаем, что обратная функция вогнута. <

Остальные свойства доказываются аналогично.

5. Основным свойством выпуклых функций является так называемое

Неравенство Иенсена. Пусть - выпуклая на функция. Тогда и таких, что

а) ;

б)

верно неравенство

.

Доказательство проведем методом индукции.

1.В случае , когда имеем и такие, что имеем

(согласно определения)

,

то есть для неравенство Иенсена верно.

2. Пусть неравенство Иенсена верно для некоторого п. Докажем, что оно верно и для .

Возьмем и , такие что и . Рассмотрим комбинацию

в которой слагаемое. Чтобы сделать п слагаемых объединим два последних слагаемых в одно

,

где и .

Тогда , и мы получаем

,

так как в аргументе стало уже п слагаемых а мы предположили, что для п слагаемых неравенство Иенсена верно. Но далее мы имеем, согласно определения выпуклой функции,

.

Поэтому, продолжая предыдущее неравенство, напишем

,

что и доказывает справедливость неравенства Иенсена для . <

Точки перегиба.

Определение. Точка называется точкой перегиба функции , если она отделяет участок, где функция выпукла от участка, где функция вогнута.

Рассмотрим, как выглядит на графике точка перегиба. Пусть левее точки функция выпукла, а правее - вогнута. Тогда левее точки график функции лежит над касательной, а правее - под касательной. Точка перегиба характеризуется тем, что здесь кривая переходит с одной стороны касательной на другую ее сторону, то есть кривая пересекает касательную. То же самое будет, если левее функция вогнута, а правее - выпукла.

Точки перегиба являются характерными точками графика функции, и их нахождение является одной из процедур исследования графика.

Асимптоты

Пусть функция определена на полу бесконечном (типа или ) или бесконечном интервале.

Горизонтальная асимптота.

Пусть . Тогда говорят, что у функции имеется горизонтальная асимптота . График функции чаще всего имеет такой вид (при )

хотя, в принципе, может иметь и такой вид:

На рисунке приведен график функции , имеющей асимптоту .

Вертикальная асимптота.

Пусть при . Тогда говорят, что прямая является вертикальной асимптотой . График функции при приближении х к а ведет себя примерно так, как изображено на рисунках, хотя, конечно, могут быть разные варианты, связанные с тем, куда уходит - в +¥ или в -¥

Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда имеет вид

.

Тогда вертикальные асимптоты находятся как корни уравнения .

Наклонные асимптоты.

Характерной чертой и горизонтальной и вертикальной асимптот было то, что это прямые линии, к которым «приближается» график . В общем случае асимптота - это некоторая прямая, к которой неограниченно приближается функция при или .

Пусть уравнение асимптот есть . Значение функции при аргументе х есть . Неограниченное приближение к асимптоте означает, что величина стремится к 0 при : . (*) Если эта величина стремиться к нулю, то тем более стремиться к нулю величина: . Но тогда мы имеем

,

и так как последний предел равен нулю, то

.

Зная а, можно найти и b из исходного соотношения (*):

.

Тем самым параметры асимптоты полностью определяются.

Пример. Пусть, например, .

Тогда

, ,

то есть асимптота при имеет уравнение .

Аналогично можно показать, что при асимптота имеет вид .

Сам график функции выглядит так:

Глава 5. Применение производных

Правило Лопиталя.

Среди неопределенных выражений чаще всего приходится встречаться с неопределенностями типа или . При их раскрытии очень помогает так называемое правило Лопиталя.

Раскрытие неопределенностей типа .

Теорема 1. Пусть

а) функции и определены и непрерывны на ;

б) в существуют и , причем ;

в) ;

г) .

Тогда .

Доказательство.

В точке а функции и не определены. Доопределим их по непрерывности, полагая . Тогда по формуле Коши

,

где . Поэтому при также будет . Переходя к пределу, получим

,

так как последний предел существует. <

Теорема 2.

Пусть

а) функции и определены и непрерывны на ;

б) в существуют и , причем ;

в) ;

г) .

Тогда .

Доказательство.Сделаем «замену переменной» . Тогда при и мы можем воспользоваться предыдущей теоремой. Имеем

,

что и доказывает теорему. <

Несмотря на свою внешнюю простоту, правило Лопиталя довольно сложно при его практическом использовании. При практическом применении этого правила следует иметь в виду следующие рекомендации:

а) прежде, чем находить рекомендуется выражение упрощать, насколько это возможно;

б) если при вычислении снова подучилась неопределенность, то применить правило Лопиталя еще раз. Однако перед его повторным применением рекомендуется выделить отдельно сомножители, не стремящиеся к нулю, и заменить их предельными значениями.

Рассмотрим два примера на эти рекомендации.

Пример 1.

Вычислить .

Решение. Используем правило Лопиталя. Имеем

И вот тут не имеет смысла сразу подставлять , так как снова получилась неопределенность. Не имеет также смысла сразу применять правило Лопиталя еще раз - залезем в такие дебри, из которых не выберемся. Поэтому сначала упрощаем - убираем «трехэтажность» и сокращаем сомножитель :

И вот тут уже можно смело подставить , так как нет никакой неопределенности:

=2.

Пример 2.

Вычислить .

Решение. Используем правило Лопиталя и упрощаем. Имеем

У нас снова получилась неопределенность. Но, прежде чем применять правило Лопиталя еще раз, надо сначала выделить сомножители, не стремящиеся к 0, и вычислить их предел отдельно:

А вот теперь к оставшемуся выражению применяем правило Лопиталя еще два раза:

.

Раскрытие неопределенностей типа .

Теорема. Пусть

а) функции и определены и непрерывны на ;

б) в существуют и , причем ;

в) ;

г) .

Тогда .

Доказательство.

Ввиду громоздкости доказательства, разобьем его на части.

А) Избавление от производных.

В условии теоремы сказано, что . Это значит, что

.

Возьмем х и х₀ так, чтобы было . Тогда, по формуле Коши,

,

и . Поэтому для этих х и х₀ имеем

.

В дальнейшем х₀ фиксируем.

Б) Полезное соотношение.

Имеем, раскрывая скобки,

.

Исходное выражение взято «с потолка». Отсюда получаем

.

В) Предельный переход.

При . Поэтому

.

Это означает, что

.

Берем . Тогда

,

так как <1. Это, по определению предела, и означает, что .<

Заметим, что правило Лопиталя позволяет раскрывать и неопределенности типа , если произведение привести к виду или .

Заметим еще, что обратное, вообще говоря, не верно: из существования предела отношения не следует существование предела отношения .