Применение дифференциала в приближенных вычислениях значений функций
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………………………
- Частные производные. ……………………………………………………
Указания к задаче 1……………………………………………………
- Производные неявной функции……………………………………………
Указания к задаче 2……………………………………………………
- Дифференциал……………………………………………
Указания к задаче 3……………………………………………………
- Применение дифференциала в приближенных вычислениях значений функций……………………………………………
Указания к задаче 4……………………………………………………
- Формулы Тейлора и Маклорена…………………
Указания к задаче 5……………………………………………………
- Касательная плоскость и нормаль к поверхности…………………
Указания к задаче 6……………………………………………………
- Градиент и производная по направлению…………………
Указания к задаче 7……………………………………………………
- Экстремум функции нескольких переменных …………………
Указания к задаче 8……………………………………………………
Указания к задаче 9……………………………………………………
- Условный экстремум функции нескольких переменных…………………
Указания к задаче 10……………………………………………………
- Наименьшее и наибольшее значение функции…………………
Указания к задаче 11……………………………………………………
- Метод наименьших квадратов……………………………………
Указания к задаче 12……………………………………………………
Указания к задаче 13……………………………………………………
- Расчетные задания………………………………………………
Список литературы…………………………………………………………
Частные производные
Пусть - множество пар значений независимых переменных и .
Определение.Если каждой паре поставлено в соответствие некоторое значение переменной величины , то говорят, что - функция двух независимых переменных и , определенная на множестве . Множество называется областью определения функции .
Определение.Если каждой совокупности значений независимых переменных из некоторого множества соответствует определенное значение переменной , то говорят, что - функция переменных, определенная на множестве ( ).
Определение.Частной производной функции по переменной в точке называется предел (если он существует)
.
Обозначается или .
Для функции двух переменных по определению имеем
- частная производная по ,
- частная производная по .
Замечание. Частные производные вычисляются по обычным правилам и формулам дифференцирования (при этом все переменные, кроме , рассматриваются как постоянные).
Определение.Частными производными 2-го порядка функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка.
Производные второго порядка обозначаются следующим образом:
,
и т.д.
Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка выше второго.
Замечание. Результат многократного дифференцирования функции по различным переменным не зависит от очередности дифференцирования при условии, что возникающие при этом смешанные частные производные непрерывны.
Указания к задаче 1.
Дана функция . Показать, что .
Решение. Найдем частные производные
; ;
;
;
.
Подставляя найденные частные производные в левую часть данного уравнения, получим тождество
,
что и требовалось доказать.
Производные неявной функции
Частные производные неявной функции , заданной с помощью уравнения , вычисляются по формулам
, (2.1)
при условии, что .
Производная неявной функции , заданной с помощью уравнения , может быть вычислена по формуле:
при условии, что . (2.2)
Указания к задаче 2.
2.1. Найти первые производные неявной функции, заданной уравнением .
Решение. Производная неявной функции , заданной с помощью уравнения , может быть вычислена по формуле (2.2): при условии, что .
В данном случае . , .
Найдем производную неявной функции:
.
2.2. Найти первые производные неявной функции, заданной уравнением .
Решение. Производные неявной функции , заданной с помощью уравнения , могут быть вычислены по формуле (2.1): , при условии, что .
В данном случае , , , .
Найдем производные неявной функции:
, .
Дифференциал
Определение.Полным приращением функции в точке , соответствующим приращениям аргументов называется разность .
Определение.Функция называется дифференцируемой в точке , если в некоторой окрестности этой точки полное приращение функции может быть представлено в виде
,
где , - числа, не зависящие от .
Определение.Дифференциалом первого порядка функции в точке называется главная часть полного приращения этой функции в рассматриваемой точке
.
.
Для дифференциала функции справедлива формула
. (3.1)
Для функции двух переменных имеем
.
Дифференциал го порядка функции выражается символической формулой
. (3.2)
Например, в случае функции двух переменных для дифференциалов 2-го и 3-го порядков справедливы формулы
, (3.3)
. (3.4)
Указания к задаче 3.
3.1. Найти дифференциал третьего порядка функции .
Решение. Найдем все частные производные до третьего порядка включительно:
, ,
, ,
, , , .
Найдем дифференциал третьего порядка функции двух переменных по формуле (3.4):
3.2.Найти дифференциал второго порядка функции .
Решение. Для нахождения дифференциала второго порядка функции трех переменных воспользуемся формулой (3.2):
Найдем все частные производные до второго порядка включительно:
, , ,
, , ,
, , .
Найдем дифференциал второго порядка функции трех переменных:
Указания к задаче 4.
Вычислить приближенное значение функции в точке А(3,94; 2,01).
Решение. Приближенное значение функции в точке А вычислим, используя формулу (4.1):
или .
Вычислим значение функции в точке с координатами . Если , то .
Так как , то ,
, то .
Подставим в формулу: .
Формулы Тейлора и Маклорена
Для функции двух переменных формула Тейлора имеет вид
, (5.1)
где - остаточный член .
В частном случае, при , формула (5.1) называется формулой Маклорена.
Указания к задаче 5.
Разложить функцию в окрестности точки М(2,1), ограничиваясь членами второго порядка включительно
Решение. В данном случае формула Тейлора (5.1) принимает вид , где - дополнительный член формулы Тейлора.
Найдем значения всех частных производных функции до второго порядка включительно в точке М:
, , , , .
Составим дифференциалы функции до второго порядка включительно
,
.
Учитывая, что , получим:
.
Указания к задаче 6.
6.1. Составить уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности в точке А(1,2,7).
Решение. Если уравнение поверхности задано в явной форме , то уравнение касательной плоскости в точке имеет вид (6.1)
,
а уравнение нормали (6.2) –
.
Найдем значения частных производных в точке М:
, .
Подставляя найденные значения в уравнения касательной плоскости и нормали, получим
или - уравнение касательной плоскости, - уравнение нормали.
6.2. Составить уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности в точке А(1,0,3).
Решение. Если уравнение поверхности задано в неявной форме , то уравнение касательной плоскости в точке имеет вид (6.3)
.
Уравнение нормали (6.4)
.
Найдем значения частных производных в точке М:
, , .
Подставляя найденные значения в уравнения касательной плоскости и нормали, получим
или - уравнение касательной плоскости, - уравнение нормали.
Указания к задаче 7.
Даны: функция ,точка и вектор .
Найти: 1) в точке А;
2) производную в точке А по направлению вектора .
Решение.
Найдем в точке А , для этого вычислим и в точке А. Имеем:
,
.
Таким образом, .
Для нахождения производной функции в направлении вектора воспользуемсяформулой (7.1). Для этого найдем единичный вектор , тогда
.
8. Экстремум функции нескольких переменных
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .
Определение.Функция имеет максимум (минимум) в точке , если существует такая окрестность точки , в которой для всех точек ( ) выполняется неравенство (соответственно ).
Максимум или минимум функции называется ее экстремумом, а точки, в которых функция имеет экстремум, называются точками экстремума (максимума или минимума).
Необходимое условие экстремума.Если функция имеет экстремум в точке , то в этой точке
.
Точки, в которых выполняются эти условия, называются стационарными точками функции .
Достаточное условие экстремума.Пусть - стационарная точка функции , причем эта функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки и все ее вторые частные производные непрерывны в точке . Тогда:
если второй дифференциал при любых значениях , не равных одновременно нулю, то функция имеет в точке минимум (максимум);
если принимает значения разных знаков в зависимости от , то экстремума в точке нет;
если для набора значений , не равных нулю одновременно, то требуются дополнительные исследования.
Рассмотрим случай функции двух переменных.
Определение. Функция имеет максимум (минимум) в точке , если существует такая окрестность точки , в которой для всех точек отличных от , выполняется неравенство .
Необходимое условие экстремума функции двух переменных. Если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке , то в этой точке частные производные первого порядка равны нулю, т.е.
,
. (8.1)
Введем обозначения:
, , , . (8.2)
Достаточное условие экстремума функции двух переменных.Пусть - стационарная точка функции и пусть в окрестности точки функция имеет непрерывные частные производные второго порядка. Тогда:
если , то функция имеет в точке экстремум, а именно максимум при и минимум при ;
если , то экстремум в точке отсутствует;
если , то требуются дополнительные исследования.
Рассмотрим случай функции трех переменных.
Критерий Сильвестра. 1) Для того, чтобы выполнялось неравенство при любых значениях , не равных нулю одновременно, необходимо и достаточно, чтобы:
, , .
2) Для того, чтобы выполнялось неравенство при любых значениях , не равных нулю одновременно, необходимо и достаточно, чтобы:
, , .
Следует помнить, что все производные здесь вычислены в точке .
Указания к задаче 8.
Найти экстремумы функции двух переменных .
Решение.
По необходимому условию экстремума, если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке , то в этой точке частные производные первого порядка равны нулю.
Найдем стационарные точки функции :
, .
Решая данную систему, получаем две стационарные точки (1,-3), (-1,-3).
Воспользуемся достаточным условием экстремума функции двух переменных. По формулам (8.2) найдем , , , .
Рассмотрим точку (1,-3): , , . Так как , то точка (1,-3) является точкой экстремума, а именно минимума, так как . Найдем минимум функции: .
Рассмотрим точку (-1,-3): , , . Так как , то в точке (-1,-3) экстремума нет.
Условный экстремум
Пусть требуется найти экстремум функции при условии, что связаны уравнением
, . (9.1)
Уравнения (9.1) называются уравнениями связи.
Определение.Функция имеет условный максимум (условный минимум) в точке , если существует такая окрестность точки , в которой для всех точек ( ), удовлетворяющих уравнениям связи, выполняется неравенство (соответственно ).
Задача нахождения условного экстремума сводится к исследованию на обычный экстремум функции Лагранжа
,
называются множителями Лагранжа.
Необходимое условие условного экстремума.Если функция имеет условный экстремум в точке , то в этой точке
.
Для нахождения точки, в которой возможен условный экстремум, составим систему уравнений:
, (9.2)
из которой найдем неизвестные , .
Достаточное условие условного экстремума.Пусть , решения системы (9.2), удовлетворяющие уравнениям при . Функция имеет в точке условный максимум, если
и условный минимум, если
.
В случае функции двух переменных при уравнении связи функция Лагранжа примет вид
.
Система (9.2) запишется в виде
Пусть - любое из решений этой системы и
.
Тогда, если , то функция имеет в точке условный максимум; если – условный минимум.
Указания к задаче 11.
Найти наименьшее и наибольшее значения функции в ограниченной замкнутой области , заданной системой неравенств.
, .
Решение.
Область представляет собой треугольник, ограниченный координатными осями и прямой .
1) Найдем стационарные точки функции внутри области . В этих точках частные производные равны нулю:
Решая данную систему, получим точку . Эта точка не принадлежит области , следовательно, в области стационарных точек не имеем.
2) Исследуем функцию на границе области. Поскольку граница состоит из трех участков, описываемых тремя различными уравнениями, то будем исследовать функцию на каждом участке отдельно:
· . На этом участке . Так как - возрастающая функция переменной при , то на отрезке наименьшее значение функции будет в точке (0,0): , а наибольшее – в точке (1,0): .
· . На этом участке . Найдем производную . Из уравнения получаем . Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции на границе находятся среди ее значений в точках (0,0), (0,1), . Найдем эти значения: , .
· или , . На этом участке . Решая уравнение , получим , следовательно, . Значение функции в этой точке равно , а на концах отрезка значение функции найдены выше.
3) Сравнивая полученные значения , , , , , заключаем, что наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области равны соответственно и .
11. Метод наименьших квадратов
В различных исследованиях на основании эксперимента требуется установить аналитическую зависимость между двумя переменными величинами и . Широко распространенным методом решения этой задачи является метод наименьших квадратов.
Пусть в результате эксперимента получено значений функции при соответствующих значениях аргумента . Результаты сведены в таблицу
… | ||||
… |
Вид аппроксимирующей функции устанавливается или из теоретических соображений, или на основании характера расположения на плоскости точек, соответствующих экспериментальным значениям.
При выбранном виде функции остается подобрать входящие в нее параметры так, чтобы в каком-то смысле она наилучшим образом описывала рассматриваемый процесс.
Метод наименьших квадратов заключается в следующем. Рассмотрим сумму квадратов разностей значений , даваемых экспериментом, и функции в соответствующих точках:
. (11.1)
Подбираем параметры так, чтобы эта сумма имела наименьшее значение. Таким образом, задача свелась к исследованию функции на экстремум.
Из необходимого условия экстремума функции нескольких переменных следует, что эти значения удовлетворяют системе уравнений
.
Или в развернутом виде
(11.2)
Если требуется найти функцию вида , то функция в этом случае имеет вид
.
Это функция с двумя переменными и . Исследуем ее на экстремум. Запишем необходимые условия экстремума:
Отсюда получаем следующую систему уравнений относительно неизвестных и
(11.3)
Можно показать, что система (11.3) имеет единственное решение, и при найденных значениях и функция