Применение дифференциала для приближенных вычислений.

При достаточно малых приращение функции приближенно равно ее дифференциалу, т. е. и

.

Пример 9.Найти дифференциал функции .

Решение.Найдем производную данной функции .

Следовательно, по определению дифференциала функции получим

.

Пример1 0. Вычислить с помощью дифференциала приближенное значение

Решение. Рассмотрим функцию . Пологая и применяя формулу , получим

.

Производные высших порядков.

Производной второго порядка (второй производной) функции называется производная от производной . Вторая производная обозначается так: , или , или .

Если - закон прямолинейного движения точки, то вторая производная пути по времени есть ускорение этого движения.

Аналогично производная третьего порядка функции есть производная производной второго порядка и т.д., производной n-го порядка от функции называется производная от производной -го порядка . Обозначается n-я производная так: или , или .

Пример 10.Дана функция .

Найти: , , ,…

Решение.

; ;

; ; ;

.

Пример 11.Дана функция

Найти: .

Решение. ,

Контрольные вопросы.

Производная функции.

2.Основные правила дифференцирования.

3.Производная обратной функции.

4.Формулы дифференцирования основных элементарных функций.

5.Понятия дифференциала функции.

6.Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

7.Производные высших порядков.

Задания.

1. Пользуясь определением производной вычислить производные следующих функций:

1) ;

2) .

2. Найти производные и дифференциалы следующих функций

; ; ; ;

; ; ;

; .

3.Найти производные функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

4.Найти ,

1) если , ;

2) если , ;

3) если , .

5.Вычислить с помощью дифференциала приближенные значения

, , , .

6.Найти производные

1)обратных тригонометрических функций

; ; ; ; .

2) обратную к .

7. Найти , , ,…, для функций:

1) . 2) . 3) . 4) .

Занятие 5

1.Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Фрмула Тейлора.

Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале и то в интервале найдётся хотя бы одно значение , при котором

Теорема Лагранжа (о конечном приращении). Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале , то в этом интервале найдётся хотя бы одно значение , при котором выполняется равенство (геометрический смысл: касательная в точке параллельна секущей АВ).

Теорема Коши. Если функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы в интервале , причём то в этом интервале найдётся хотя бы одно значение , при котором где .

Формула Тейлора. Если функция имеет в точке все производные до порядка включительно, то

Это соотношение называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

При = 0 получаем частный случай формулы Тейлора-формулу Маклорена

Приведем разложение некоторых функций по формуле Маклорена:

,

,

Пример 1. Выполняется ли теорема Ролля для функции

если а=-3; в=3. Найти значение .

Решение. Так как функция непрерывна и дифференцируема при всех значениях х и её значения на концах отрезка равны Следовательно, условия теоремы Ролля на этом отрезке выполняются. Значение определяем из уравнения , т.е. .

Пример 2. На дуге АВ кривой найти точку М, в которой касательная параллельна хорде АВ, если А(1,3) и В(3,3).

Решение. Функция непрерывна и дифференцируема при всех значениях х. По теореме Лагранжа между двумя значениями а=1 и в=3 существует значение х= , удовлетворяющее равенству:

где

Подставив соответствующие значения, получим

Отсюда . Таким образом, точка М имеет координаты М(2;4).

Пример 3. Проверить теорему Коши для функции =х³ и и найти с.

Решение. Из формулы Коши имеем

, т.е. .

Отсюда, получим .

Пример 4.Разложить функцию по формуле Тейлора в окрестности точки .

Решение. Представим, данную функцию в виде

.

Далее воспользуемся формулой .

Будем иметь

Пример 5.Вычислить предел, используя разложение по формуле Тейлора

.

Решение. Так как

и то получим

Контрольные вопросы.

1. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.

2.Формула Тейлора. Формула Маклорена.

3.Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

Задания.

1. Применима ли теорема Ролля к функции на отрезке . Пояснить графически.

2. Проверить теорему Лагранжа и найти с для функций: а) на отрезке

б) на отрезке

3.Проверить теорему Коши и найти с для функций: а) и на отрезке ,

б) х² и на отрезке .

4. Разложить функцию по формуле Тейлора в окрестности точки .

5. Найти пределы, используя разложение по формуле Тейлора

а) ,

б) .

Занятие 6.

Правило Лопиталя. (раскрытиенеопределенностей)

Первое правило Лопиталя.

Если функции и определены и непрерывны в некоторой окрестности точки и при , , и производные и существуют в упомянутой окрестности, за исключением, быть может, самой точки и существует ,

Тогда

.

Второе правило Лопиталя.

Если функции и определены и непрерывны в некоторой окрестности точки и при , , а производные и существуют в упомянутой окрестности, за исключением, быть может самой точки и существует ,

Тогда

.

Пример 1.Вычислить предел

Решение. Применяя первое правило Лопиталя получим = .

Пример 2.Вычислить предел .

Решение. Применяя первое правило Лопиталя получим .

Контрольные вопросы.

1.Первое правило Лопиталя.

2.Второе правило Лопиталя.

Задания.

1.Вычислить пределы, применяя правила Лопиталя:

1) , 2) ,

3) , 4) .

Занятие 7.