Применение рядов в приближенных вычислениях
Степенные ряды имеют самые разнообразные приложения. С их помощью вычисляют с заданной степенью точности значения функций, определенных интегралов, которые являются «не берущимися» или слишком сложными для вычислений, интегрируются дифференциальные уравнения.
Примеры:
I. Вычислить приближенно с точностью до 0,0001:
а)
Решение. Для вычисления запишем ряд (2) при , принадлежащем области сходимости :
Взяв первые пять членов разложения, на основании следствия из теоремы Лейбница для сходящегося знакочередующегося ряда мы допустим погрешность , не превышающую первого отброшенного члена (по абсолютной величине), т.е. .
Итак,
б)
Решение. Воспользуемся разложением (10), подставив в него , входящее в область сходимости :
Так как данный числовой ряд не является знакопеременным, то о погрешности нельзя судить по величине первого отбрасываемого члена.
Если в качестве взять сумму первых трех членов, мы допустим погрешность
(здесь мы учли, что сумма сходящегося геометрического ряда в скобках равна )
Итак,
в)
Решение. Для вычисления запишем ряд (3) при , принадлежащем области сходимости :
(необходимо взять два члена, так как при этом погрешность ). Итак,
.
II. Вычислить приближенно с точностью до 0,001 следующие интегралы:
a)
Решение. Так как интеграл «не берущийся», «точное» интегрирование здесь невозможно.
Воспользуемся разложением (3). Разделив обе части на , получим
, причем ряд сходится при всех значениях . Интегрируя почленно, получим:
Возьмем первые три члена разложения, т.к. .
Итак,
б)
Решение. Заменив на в разложении (2), получим:
.
Умножая полученный ряд на
и почленно интегрируя в интервале , принадлежащем интервалу сходимости ряда , имеем:
При этом .
Итак, .
Задачи.
Разложить в ряд Маклорена следующие функции, указав промежутки сходимости полученных рядов.
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7.
Разложить в ряд Тейлора следующие функции и найти область сходимости полученного ряда.
1. по степеням
2. по степеням
3. по степеням
4. по степеням
5. по степеням
6. по степеням
Вычислить приближенно с точностью до 0,0001:
1. 2. 3. 4.
5. 6.
Вычислить приближенно, взяв первые два члена разложения в ряд подынтегральной функции, и оценить допущенные при этом погрешности:
1. 2.
Подписано в печать 2012 г. Формат 60´84/16. Бумага писчая. Отпечатано на ризографе. Уч. изд. листов 2.
Тираж 600. Заказ №
Московский государственный университет тонких химических технологий им. М.В.Ломоносова
Издательско-полиграфический центр
117571, Москва, просп. Вернадского, 86.
* Напомним, что степенью степенного выражения называется наибольшая из степеней входящих в него слагаемых, само это слагаемое называется старшим, а его коэффициент называется старшим коэффициентом. Например, у степенного выражения старшее слагаемое имеет степень 1,5, а старший коэффициент равен 5.