Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала

Мы уже подчёркивали, что дифференциал функции представляет собой главную часть приращения функции, поэтому получаем приближенное равенство Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru или Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru . Это достаточно хорошо видно на рис.4.

Конечно, если Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru - большое, то разница между Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru и Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru ощутимая. Но ясно, что чем меньше Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru , тем меньше указанная разница и тем оправданнее использование приближённой формулы Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Учитывая

Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru получим формулу приближённых вычислений значений функции с помощью дифференциала:

Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

Формула справедлива для любого значения аргумента Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru На практике выбирают какое-нибудь одно Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru и формула имеет вид:

Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru (3)

Пример 10. Вычислить приближённо с помощью дифференциала число Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

Решение. Число А есть значение функции Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru в точке х=224. Точка Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru - «неудобная» точка – из этого числа корень«не извлекается», т.е. значение корня не равно целому числу. Поэтому подбираем ближайшую удобную точку Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Тем самым определилось приращение аргумента Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Теперь остаётся обратиться к формуле приближённых вычислений (3). Находим f Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

Подставляем всё найденное в формулу (3):

Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

Основные теоремы дифференциального исчисления

Так называется ряд теорем, появившихся в XVIII веке в трудах французских и немецких математиков и давших начало развитию математического анализа. Рассмотрим несколько основных теорем.

Теорема Ферма. Если функция Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru дифференцируема на отрезке Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru и во внутренней точке этого отрезка принимает наибольшее (наименьшее) значение, то производная в этой точке равна нулю.

Доказательство: Пусть наибольшее значение достигается в точке Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Геометрическое доказательство (геометрический смысл) теоремы очевидно-касательная к графику функции в точке Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru параллельна оси абсцисс (рис. 5).

Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

 
  Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

Рис.5.

Проведём аналитическое доказательство. По определению

Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

Пусть в точке Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru достигается наибольшее значение. Тогда Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru при любом знаке Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru .

Если Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

если Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

Поскольку Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru число, то два неравенства Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru выполняются при Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

Теорема Лагранжа. Если функция Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru дифференцируема на отрезке Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru , то внутри отрезка найдётся по крайней мере одна точка с такая, для которой имеет место формула Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Рассмотрим геометрический смысл формулы Лагранжа Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru которую запишем в виде Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru .

Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru В

Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru А Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru М

Рис.6 Рис. 10  
Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru
Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru
Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru
Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru
Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru
Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

На рис. 6 Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru тогда Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru - из прямоугольного треугольника Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru . Далее мысленно передвигаем секущую Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru параллельно самой себе до тех пор, пока она не станет касательной – абсцисса точки касания и есть Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru т.к. Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru .

Формула Тейлора.

В общем виде постановка задачи формулируется следующим образом. Имеется функция Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru и по некоторым причинам её исследование затруднительно. Поэтому её желательно заменить другой, «близкой к данной». Понятие «близкая» уточняется в каждом конкретном случае.

В нашем случае пусть имеется функция Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru , которую мы желаем заменить многочленом

Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru (4)

степени Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru , записанным по степеням Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru , где Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru - некоторое число. Коэффициенты Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru этого многочлена требуется подобрать такими, чтобы выполнялись условия

Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru (5)

Условия (5) и являются конкретным уточнением понятия «близкие» функции. Они требуют, чтобы в точке Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru совпадали значения многочлена Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru и функция Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru и их производные до Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru го порядка включительно. Как видим, у многочлена надо найти Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru коэффициент Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru , и для этого имеется Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru равенств в формуле (5). Итак, реализуем условия (5).

Во-первых, находим Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru , т.е. в формулу (4) подставляем Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru , все скобки обращаются в ноль, получаем Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Из первого условия формулы Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru получаем Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru .

Далее последовательно находим производные многочлена Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru , подставляем Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru и используем соответствующее условие формулы (5).

Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru .

Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Нетрудно видеть, что Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Намечается закономерность

Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

Доказано, что эта закономерность действительно имеет место. Для придания полученным формулам более компактный вид введём следующее определение.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru обозначается Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru и называется эн - факториал: Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

Отметим, что сомножитель 1 поставлен не только «для красоты»,- эн – факториал содержит эн - сомножителей. Из определения следует, что Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru Более того, договорились считать Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru . Возвратимся к формулам для коэффициентов, для которых получаем общий вид: Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

Таким образом, получаем искомый многочлен

Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

Многочлен Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru , записанный в виде (6), называется многочленом Тейлора для функции Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru . Мы уже говорили, что имеет место приближённое равенство Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru , т.е.

Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

Формула (7) называется разложением функции Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru по формуле Тейлора. Как видим, эта формула является приближённой. Разность Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru называется остаточным членом формулы Тейлора: тогда получим Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

Существуют разные формы остаточного члена Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru С помощью теоремы Лагранжа доказано, что между точками Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru и Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru существует точка Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru такая, что

Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru (8)

Формула (8) называется остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа. Подчеркнём, что Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru в виде (8) похож на следующий, Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru - й член формулы Тейлора, с той лишь разницей, что вместо Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru берётся точка Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru , о которой известно лишь то, что она существует, где то между точками Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru . Итак, мы получили формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа:

Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

Заметим, что если ограничиться Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru , то получим Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала - student2.ru

Видим, что первые два слагаемых дают приближённое вычисление значения функций с помощью дифференциала, но теперь мы имеем возможность оценить погрешность наших вычислений.

Наши рекомендации