Свойства определённого интеграла

  1. Свойства определённого интеграла - student2.ru
  2. Линейность:

Свойства определённого интеграла - student2.ru

  1. Определённый интеграл можно представить в виде суммы интегралов

Свойства определённого интеграла - student2.ru ,

если Свойства определённого интеграла - student2.ru .

  1. Если f(x) ≤ φ(x) при a≤х≤b , то

Свойства определённого интеграла - student2.ruСвойства определённого интеграла - student2.ru

  1. Если m – наименьшее, а M – наибольшее значения функции f(x) на отрезке a≤х≤b, то

Свойства определённого интеграла - student2.ru

  1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке a≤х≤b, то на этом отрезке найдётся такая точка x, что

Свойства определённого интеграла - student2.ru .

Число Свойства определённого интеграла - student2.ru называется средневзвешенным значением функции на отрезке [a; b].

Вычисление определенного интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница

Если функции f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и для нее известен неопределённый интеграл

Свойства определённого интеграла - student2.ru ,

где F(x) –первообразная функции f(x), то определенный интеграл может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница

Свойства определённого интеграла - student2.ru , (9.2)

то есть определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

При вычислениях по формуле (9.2) обычно пишут в виде

Свойства определённого интеграла - student2.ru .

Пример:

Вычислить определенные интегралы:

1. Свойства определённого интеграла - student2.ru .

Решение: Свойства определённого интеграла - student2.ru

2. Свойства определённого интеграла - student2.ru .

Решение: Свойства определённого интеграла - student2.ru

Свойства определённого интеграла - student2.ru

3. Свойства определённого интеграла - student2.ru .

Решение: Свойства определённого интеграла - student2.ru

Свойства определённого интеграла - student2.ru .

Методы вычисления определенных интегралов

Замена переменной в определенном интеграле

При вычислении определенного интеграла Свойства определённого интеграла - student2.ru часто полезно заменить переменную интегрирования х на новую переменную t при помощи подстановки х = φ(t) или t = ψ(х) (φ(t) и ψ(х) – непрерывные функции, имеющие непрерывные производные на отрезке Свойства определённого интеграла - student2.ru ). При этом необходимо перейти от старых пределов интегрирования а и b к новым пределам Свойства определённого интеграла - student2.ru и Свойства определённого интеграла - student2.ru , которые определяются из уравнений

Свойства определённого интеграла - student2.ru , Свойства определённого интеграла - student2.ru .

Замена переменной осуществляется по формуле

Свойства определённого интеграла - student2.ru . (9.3)

Подчеркнем, что при вычислении определенного интеграла методом замены переменной по формуле (9.3) в отличие от неопределенного интеграла возврат к старой переменной интегрирования не требуется.

Пример:

С помощью подходящих подстановок вычислить интегралы.

1. Свойства определённого интеграла - student2.ru .

Решение:переходим к новой переменной интегрирования, полагая Свойства определённого интеграла - student2.ru (t > 0). При х = 0 получаем t = 0, а при х = 9 – t = 3; поэтому в соответствии с формулой (9.3) получаем

Свойства определённого интеграла - student2.ru Свойства определённого интеграла - student2.ru .

2. Свойства определённого интеграла - student2.ru .

Решение:применим универсальную тригонометрическую подстановку Свойства определённого интеграла - student2.ru . Если Свойства определённого интеграла - student2.ru , то Свойства определённого интеграла - student2.ru , а при Свойства определённого интеграла - student2.ru – t = 1. Тогда

Свойства определённого интеграла - student2.ru .

3. Свойства определённого интеграла - student2.ru .

Решение:применяя подстановку Свойства определённого интеграла - student2.ru (t > 0), получим

Свойства определённого интеграла - student2.ru

Свойства определённого интеграла - student2.ru .

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Если функции u(x) и v(х) имеют непрерывные производные на отрезке [a; b], то справедлива формула интегрирования по частям для определенного интеграла:

Свойства определённого интеграла - student2.ru Свойства определённого интеграла - student2.ru , (9.4)

где символ Свойства определённого интеграла - student2.ru обозначает разность Свойства определённого интеграла - student2.ru .

Пример:

Применяя формулу (9.4), вычислить интегралы:

1. Свойства определённого интеграла - student2.ru .

Решение:положим Свойства определённого интеграла - student2.ru , тогда

Свойства определённого интеграла - student2.ru .

Подставляя полученные значения в формулу (9.4) получаем

Свойства определённого интеграла - student2.ru

Свойства определённого интеграла - student2.ru .

2. Свойства определённого интеграла - student2.ru .

Решение:

Свойства определённого интеграла - student2.ru .

В случае, если не удаётся вычислить неопределённый интеграл, то прибегают к приближённым методам вычисления определённых интегралов.

Задания для самостоятельной работы

1. Вычислить определенные интегралы:

1.1. Свойства определённого интеграла - student2.ru ; 1.2. Свойства определённого интеграла - student2.ru ; 1.3. Свойства определённого интеграла - student2.ru ;

1.4. Свойства определённого интеграла - student2.ru ; 1.5. Свойства определённого интеграла - student2.ru .

2. Вычислить интегралы методом интегрирования по частям:

2.1. Свойства определённого интеграла - student2.ru ; 2.2. Свойства определённого интеграла - student2.ru ; 2.3. Свойства определённого интеграла - student2.ru ; 2.4. Свойства определённого интеграла - student2.ru .

Несобственные интегралы

интегралы с бесконечными пределами

Если функция f(x) интегрируема на любом отрезке [a; b], где a < b< ∞, то полагают

Свойства определённого интеграла - student2.ru (9.5)

Если существует предел в правой части равенства (9.5), то интеграл Свойства определённого интеграла - student2.ru называется сходящимся, и расходящимся, если указанный предел не существует.

Аналогично, если функция f(x) интегрируема на любом отрезке [a; b], где – ∞ < a < b, то полагают

Свойства определённого интеграла - student2.ru

И, если функция f(x) интегрируема на любом отрезке [a; b] числовой оси то,

Свойства определённого интеграла - student2.ru

Наши рекомендации