Свойства определенного интеграла.

1. Определенный интеграл является числом, не зависящим от выбора обозначения переменной интегрирования, т. е.

Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

2. Если функция f(x) определена в точке a, то

Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

3. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то при замене пределов интегрирования меняется знак:

Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

4. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a,b], Свойства определенного интеграла. - student2.ru и Свойства определенного интеграла. - student2.ru — постоянные множители, то функция Свойства определенного интеграла. - student2.ru тоже интегрируема на этом отрезке, причем

Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

5. Если функция f(x) интегрируема на отрезках [a, c] и [c, b], то она интегрируема и на отрезке [a, b], причем

Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

Свойства определенного интеграла. - student2.ru Геометрически этот факт иллюстрируется рис. 7.3.

 
  Свойства определенного интеграла. - student2.ru

Рис. 7.3. Разбиение площади под кривой на две фигуры

Можно утверждать обратное. Если функция интегрируема на отрезке [a, b], то она интегрируема и на любой части этого отрезка.

6. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке, причем существует точка c Свойства определенного интеграла. - student2.ru [a, b] такая, что справедливо равенство

Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

Это свойство, иллюстрируемое рис. 7.4, часто называют теоремой о среднем значении или просто теоремой о среднем.

 
  Свойства определенного интеграла. - student2.ru

Рис. 7.4. Пояснение теоремы о среднем

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], следовательно, по свойству 6 она интегрируема на этом отрезке. Выберем произвольную точку x Свойства определенного интеграла. - student2.ru [a, b]. Тогда f(x) также интегрируема на отрезке [a, x] по свойству 5.

Рассмотрим функцию

Свойства определенного интеграла. - student2.ru ,

которая называется интегралом с переменным верхним пределом. Докажем, что функция F1(x) является первообразной для функции f(x) на отрезке [a, b].

Дадим переменной x приращение Свойства определенного интеграла. - student2.ru x так, что x + Свойства определенного интеграла. - student2.ru x Свойства определенного интеграла. - student2.ru [a, b]. Тогда приращение функции

Свойства определенного интеграла. - student2.ru

Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

Воспользуемся теоремой о среднем

Свойства определенного интеграла. - student2.ru , с Свойства определенного интеграла. - student2.ru [x, x + Свойства определенного интеграла. - student2.ru x].

По определению производной

Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

Таким образом, доказано, что функция F1(x) является первообразной для f(x) на отрезке [a, b].

Возьмем какую-либо другую первообразную F(x) для f(x). По теореме о первообразных функциях

F(x) = F 1(x) + C,

т. е. Свойства определенного интеграла. - student2.ru на отрезке [a, b].

Рассмотрим значения F(x) на концах отрезка [a, b].

Свойства определенного интеграла. - student2.ru ;

Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

Отсюда

Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

Перейдя по свойству 1 к переменной интегрирования x и вводя обозначение, называемое символом двойной подстановки, имеем

Свойства определенного интеграла. - student2.ru ,

Свойства определенного интеграла. - student2.ru окончательно запишем основную формулуинтегрального исчисления — формулу Ньютона-Лейбница.

Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

Формула Ньютона-Лейбница позволяет вычислять определенный интеграл, если существует первообразная F(x) подынтегральной функции f(x).

Следует помнить, что эта формула была получена в предположении, что f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Поэтому, если на этом отрезке есть точка разрыва подынтегральной функции, то формула Ньютона-Лейбница в общем случае неприменима.

Пример 7.25.

Вычислить определенные интегралы:

1. Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

2. Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

3. Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

4. Свойства определенного интеграла. - student2.ru Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

Свойства определенного интеграла. - student2.ru 7.5. Вычисление площадей плоских фигур

Пусть функция у = f(x) неотрицательна и непрерывна на отрезке [а, b]. Тогда по геометрическому смыслу определенного интеграла площадь S под кривой у = f(x)на [а, b]численно равна определенному интегралу

Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

Заметим, что перед производством вычислений всегда строят качественный вид фигуры, площадь которой необходимо вычислить.

Пример 7.26.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Свойства определенного интеграла. - student2.ru , х = 0, у = 4.

Решение. Из чертежа видно, что искомая площадь S криволинейного треугольника ОАВ равна разности двух площадей:

S = S0авс – S0ВС ,

каждая из которых находится по геометрическому смыслу определенного интеграла.

Решая систему

Свойства определенного интеграла. - student2.ru

Свойства определенного интеграла. - student2.ru Свойства определенного интеграла. - student2.ru получаем, что точка В пересечения прямой у = 4 и кривой Свойства определенного интеграла. - student2.ru имеет координаты (2; 4).

Тогда

Свойства определенного интеграла. - student2.ru ,

Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

Окончательно Свойства определенного интеграла. - student2.ru (ед2).

Отметим, что данная задача может быть также решена другим способом, если рассматривать площадь под кривой Свойства определенного интеграла. - student2.ru до оси у. Тогда пределы интегрирования необходимо заменить на отрезок [0; 4], на котором переменная у меняет свои значения:

Свойства определенного интеграла. - student2.ru 16/3(ед.2).

Пусть функция у = f(x)неположительная и непрерывна на [а, b].

Тогда площадь под осью х вычисляется с учетом неположительности функции у = f(x):

Свойства определенного интеграла. - student2.ru Свойства определенного интеграла. - student2.ru , т.е. Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

Таким образом, если функция у = f(x) неположительная на [а, b],то площадь S над кривой у = f(x)на [а, b]отличается з н а к о м определенного интеграла Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

Пример 7.27.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Свойства определенного интеграла. - student2.ru , у = х – 2, у = 0.

Решение. Из рисунка видно, что искомая площадь S криволинейного треугольника 0АВ может рассматриваться как площадь над ломанной кривой 0АВ на отрезке [0; 2]. Однако указанная кривая не задается одним уравнением.

Поэтому для нахождения S = S0AB разобьем криволинейный треугольник 0АВ на части, проецируя точку излома А на ось абсцисс. Тогда S = S0AC + SABC.

Абсцисса точки А легко определяется, как точка пересечения линий Свойства определенного интеграла. - student2.ru и у = х – 2. Ее значение равно 1. Тогда можно записать

Свойства определенного интеграла. - student2.ru Свойства определенного интеграла. - student2.ru ;

Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

Окончательно Свойства определенного интеграла. - student2.ru (ед.2).

Пусть на отрезке [а, b]задана непрерывная функция y = f(x)общего вида. Предположим также, что исходный отрезок можно разбить точками на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция у = f(x) будетзнакопостоянна или равна нулю.

 
  Свойства определенного интеграла. - student2.ru

В этом случае площадь заштрихованной фигуры равна алгебраической сумме S = S1 + S2 + S3 соответствующих определенных интегралов:

Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

Рассмотрим теорему, применение которой часто упрощает решение задач на вычисление площадей плоских фигур:

пусть на отрезке[а, b]заданы непрерывные функции у = f1(x) и у = f2(x)такие, что f2(x) ≥ f1(x). Тогда площадь S фигуры, заключенной между кривыми y = f2(x) и y = f1(x),на отрезке[а, b] вычисляется по формуле

Свойства определенного интеграла. - student2.ru . (7.1)

Проиллюстрируем теорему графически. Возможны несколько случаев расположения кривых на отрезке [а, b].

Свойства определенного интеграла. - student2.ru

1. f2(x) ≥ f1(x) ≥ 0.

Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

Свойства определенного интеграла. - student2.ru

2.0 ≥ f2(x) ≥ f1(x).

Свойства определенного интеграла. - student2.ru

Свойства определенного интеграла. - student2.ru

3.f2(x) ≥ 0, f1(x) Свойства определенного интеграла. - student2.ru 0.

Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

4. Свойства определенного интеграла. - student2.ru Общий случай сводится к частным случаям,

рассмотренным выше, если разбить отрезок [а, b]на отдельные отрезки [а, с],[с, d],[d, b].

Пример 7.28.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 – 2, у = х.

Свойства определенного интеграла. - student2.ru Решение. Найдем координаты точек пересечения параболы у = х – 2 и прямой у = х.Решая систему из этих уравнений, получим точки (– 1; –1) и (2; 2).

На интегрируемом отрезке [–1; 2] выполняется х ≥ х2 – 2. Тогда по формуле (5.1) имеем:

Свойства определенного интеграла. - student2.ru

Свойства определенного интеграла. - student2.ru (ед.2).

Пример 7.29.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4– х2, у = х2– 2х.

Решение. Координаты точек пересечения кривых у = 4 – х2 и у = х2 –2х найдем из системы их уравнений: (–1; 3) и (2; 0).

Проецируя фигуру на ось абсцисс, видно, что интегрируемый отрезок составляет [–1; 2]. На этом на отрезке выполняется f2(x) = 4 – х2 ≥ f1(x) = х2 – 2х.

Применяя формулу (5.1), получаем

Свойства определенного интеграла. - student2.ru

Свойства определенного интеграла. - student2.ru (ед.2).

Пример 7.30.

Свойства определенного интеграла. - student2.ru Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 6x – x2 и осью0x.

Решение. Графиком функции y =6x – x2 является квадратичная парабола, повернутая ветвями вниз. Абсциссы точек пересечения графика с осью x находятся из решения уравнения 6x – x2 = 0, т. е. x1 = 0; x2 = 6. Следовательно, фигура, площадь которой нужно найти, имеет вид, изображенный на рисунке.

Из геометрического смысла определенного интеграла очевидно, что площадь

Свойства определенного интеграла. - student2.ru (ед.2).

Свойства определенного интеграла. - student2.ru Пример 7.31.

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = ex, осью x, осью y и прямой x = 2.

Решение. Из рисунка следует, что

Свойства определенного интеграла. - student2.ru (ед.2).

Пример 7.32.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x2 и

y = x + 2.

Решение. Из рисунка видно, что искомая заштрихованная площадь S равна разности площадей двух криволинейных трапеций, ограниченных с боков линиями x = x1и x = x2.Значения x1и x2представляют собой абсциссы точек пересечения графиков, которые находим, решая уравнение:

Свойства определенного интеграла. - student2.ru ; Свойства определенного интеграла. - student2.ru ;

Свойства определенного интеграла. - student2.ru Свойства определенного интеграла. - student2.ru ; Свойства определенного интеграла. - student2.ru ; Свойства определенного интеграла. - student2.ru ; Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

Искомая площадь S равна

Свойства определенного интеграла. - student2.ru

Свойства определенного интеграла. - student2.ru (ед.2).

Свойства определенного интеграла. - student2.ru 7.6. Методы вычисления определенного интеграла

Необходимо заметить, что вычисление определенного интеграла производится в два этапа.

На первом этапе вычисляется первообразная, а затем (на втором этапе) в нее подставляются пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница.

Методы вычисления первообразной определенного интеграла совершенно аналогичны неопределенному интегрированию.

Однако при использовании методов замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле имеются свои особенности.

Действительно, если необходимо вычислить

Свойства определенного интеграла. - student2.ru ,

в котором f(x)dx можно представить в виде

Свойства определенного интеграла. - student2.ru ,

то используется замена переменной t = u(x).

При этом

Свойства определенного интеграла. - student2.ru ,

где α = u(a); β = u(b).

Свойства определенного интеграла. - student2.ru Также аналогично вычислению неопределенного интеграла, используя формулу Ньютона-Лейбница, можно получить следующую формулу интегрирования по частям

Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

Свойства определенного интеграла. - student2.ru Пример 7.33.

Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

Свойства определенного интеграла. - student2.ru Пример 7.34.

Свойства определенного интеграла. - student2.ru

Свойства определенного интеграла. - student2.ru Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

Свойства определенного интеграла. - student2.ru Пример 7.35.

Свойства определенного интеграла. - student2.ru

Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

 
  Свойства определенного интеграла. - student2.ru

Несобственные интегралы

Пусть функция y = f(x) определена и интегрируема на любом отрезке [a, t], t > a. Тогда несобственным интеграломс бесконечным верхним пределом называется предел

Свойства определенного интеграла. - student2.ru = Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

Если этот предел существует и конечен, то указанный несобственный интеграл называется сходящимся и он равен этому пределу.

Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимсяи его вычисление невозможно.

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом:

Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

Несобственный интеграл с бесконечными пределами Свойства определенного интеграла. - student2.ru можно представить как сумму

Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

Если оба интеграла в правой части этого равенства являются сходящимися, то и интеграл в левой части сходящийся и он равен сумме этих интегралов. Если хотя бы один из интегралов в правой части расходится, то и результирующий интеграл тоже расходится.

Введем понятие несобственного интеграла с конечными пределами, при приближении к которым функция стремится к бесконечности.

Рассмотрим функцию, неограниченную на отрезке интегрирования.

Пусть Свойства определенного интеграла. - student2.ru , как показано на рис. 7.5.

Тогда несобственный интеграл Свойства определенного интеграла. - student2.ru определяется как

Свойства определенного интеграла. - student2.ru ,

где Свойства определенного интеграла. - student2.ru — бесконечно малая величина. Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл сходящийся и он равен этому пределу. Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходящийся.

Свойства определенного интеграла. - student2.ru

Аналогично вводится несобственный интеграл, если Свойства определенного интеграла. - student2.ru :

Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

Пример 7.38.

Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

Пример 7.39.

Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

Пример 7.40.

Свойства определенного интеграла. - student2.ru

Свойства определенного интеграла. - student2.ru .

Пример 7.41.

Свойства определенного интеграла. - student2.ru

Свойства определенного интеграла. - student2.ru


Наши рекомендации