Линейное (векторное) пространство

Как известно, линейные операции (сложение, вычитание, умножение на число) определены по-своему для каждого множества (числа, многочлены, направленные отрезки, матрицы). Сами операции различны, но их свойства одинаковы.

Эта общность свойств позволяет обобщить понятие линейных операций для любых множеств вне зависимости от того, что это за множества (числа, матрицы и т.д.).

Для того, чтобы дать определение линейного (векторного) пространства рассмотрим некоторое множество L действительных элементов, для которых определены операции сложения и умножения на число.

Эти операции обладают свойствами:

1) Коммутативность Линейное (векторное) пространство - student2.ru + Линейное (векторное) пространство - student2.ru = Линейное (векторное) пространство - student2.ru + Линейное (векторное) пространство - student2.ru

2) Ассоциативность ( Линейное (векторное) пространство - student2.ru + Линейное (векторное) пространство - student2.ru ) + Линейное (векторное) пространство - student2.ru = Линейное (векторное) пространство - student2.ru + ( Линейное (векторное) пространство - student2.ru + Линейное (векторное) пространство - student2.ru )

3)Существует такой нулевой вектор Линейное (векторное) пространство - student2.ru , что Линейное (векторное) пространство - student2.ru + Линейное (векторное) пространство - student2.ru = Линейное (векторное) пространство - student2.ru для " Линейное (векторное) пространство - student2.ru Î L

4) Для " Линейное (векторное) пространство - student2.ru Î L существует вектор Линейное (векторное) пространство - student2.ru = - Линейное (векторное) пространство - student2.ru , такой, что Линейное (векторное) пространство - student2.ru + Линейное (векторное) пространство - student2.ru = Линейное (векторное) пространство - student2.ru

5)1× Линейное (векторное) пространство - student2.ru = Линейное (векторное) пространство - student2.ru

6) a(b Линейное (векторное) пространство - student2.ru ) = (ab) Линейное (векторное) пространство - student2.ru

7) Распределительный закон (a + b) Линейное (векторное) пространство - student2.ru = a Линейное (векторное) пространство - student2.ru + b Линейное (векторное) пространство - student2.ru

8) a( Линейное (векторное) пространство - student2.ru + Линейное (векторное) пространство - student2.ru ) = a Линейное (векторное) пространство - student2.ru + a Линейное (векторное) пространство - student2.ru

Определение: Множество L, элементы которого обладают перечисленными выше свойствами, называется линейным (векторным) пространством, а его элементы называются векторами.

Линейные преобразования

Определение: Будем считать, что в линейном пространстве L задано некоторое линейное преобразование А, если любому элементу Линейное (векторное) пространство - student2.ru Î L по некоторому правилу ставится в соответствие элемент А Линейное (векторное) пространство - student2.ru Î L.

Определение: Преобразование А называется линейным, если для любых векторов Линейное (векторное) пространство - student2.ru Î L и Линейное (векторное) пространство - student2.ru Î L и любого a верно:

A( Линейное (векторное) пространство - student2.ru + Линейное (векторное) пространство - student2.ru ) = A Линейное (векторное) пространство - student2.ru +A Линейное (векторное) пространство - student2.ru

A(a Линейное (векторное) пространство - student2.ru ) = aA Линейное (векторное) пространство - student2.ru

Пример. Является ли А линейным преобразованием. А Линейное (векторное) пространство - student2.ru = Линейное (векторное) пространство - student2.ru + Линейное (векторное) пространство - student2.ru ; Линейное (векторное) пространство - student2.ru ¹ 0.

Запишем преобразование А для какого- либо элемента Линейное (векторное) пространство - student2.ru . А Линейное (векторное) пространство - student2.ru = Линейное (векторное) пространство - student2.ru + Линейное (векторное) пространство - student2.ru

Проверим, выполняется ли правило операции сложения для этого преобразования А( Линейное (векторное) пространство - student2.ru + Линейное (векторное) пространство - student2.ru ) = Линейное (векторное) пространство - student2.ru + Линейное (векторное) пространство - student2.ru + Линейное (векторное) пространство - student2.ru ; A( Линейное (векторное) пространство - student2.ru ) + A( Линейное (векторное) пространство - student2.ru ) = Линейное (векторное) пространство - student2.ru + Линейное (векторное) пространство - student2.ru + Линейное (векторное) пространство - student2.ru + Линейное (векторное) пространство - student2.ru , что верно только при Линейное (векторное) пространство - student2.ru = 0, т.е. данное преобразование А нелинейное.

Матрицы линейных преобразований

Пусть в n- мерном линейном пространстве с базисом Линейное (векторное) пространство - student2.ru , Линейное (векторное) пространство - student2.ru ,…, Линейное (векторное) пространство - student2.ru задано линейное преобразование А. Тогда векторы А Линейное (векторное) пространство - student2.ruЛинейное (векторное) пространство - student2.ru ,…,А Линейное (векторное) пространство - student2.ru - также векторы этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса:

A Линейное (векторное) пространство - student2.ru = a11 Линейное (векторное) пространство - student2.ru + a21 Линейное (векторное) пространство - student2.ru +…+ an1 Линейное (векторное) пространство - student2.ru

A Линейное (векторное) пространство - student2.ru = a12 Линейное (векторное) пространство - student2.ru + a22 Линейное (векторное) пространство - student2.ru +…+ an2 Линейное (векторное) пространство - student2.ru

……………………………….

A Линейное (векторное) пространство - student2.ru = an1 Линейное (векторное) пространство - student2.ru + an2 Линейное (векторное) пространство - student2.ru +…+ ann Линейное (векторное) пространство - student2.ru

Тогда матрица А = Линейное (векторное) пространство - student2.ru называется матрицей линейного преобразования А.

Если в пространстве L взять вектор Линейное (векторное) пространство - student2.ru = x1 Линейное (векторное) пространство - student2.ru + x2 Линейное (векторное) пространство - student2.ru +…+ xn Линейное (векторное) пространство - student2.ru , то A Линейное (векторное) пространство - student2.ru Î L.

Линейное (векторное) пространство - student2.ru , где

Линейное (векторное) пространство - student2.ru

Линейное (векторное) пространство - student2.ru

……………………………..

Линейное (векторное) пространство - student2.ru

Эти равенства можно назвать линейным преобразованием в базисе Линейное (векторное) пространство - student2.ru , Линейное (векторное) пространство - student2.ru ,…, Линейное (векторное) пространство - student2.ru .

В матричном виде:

Линейное (векторное) пространство - student2.ru , А× Линейное (векторное) пространство - student2.ru , Линейное (векторное) пространство - student2.ru

Пример. Найти матрицу линейного преобразования, заданного в виде:

x¢ = x + y

y¢ = y + z

z¢ = z + x

x¢ = 1×x + 1×y + 0×z

y¢ = 0×x + 1×y + 1×z

z¢ = 1×x + 0×y + 1×z

A = Линейное (векторное) пространство - student2.ru

На практике действия над линейными преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами.

Определение: Если вектор Линейное (векторное) пространство - student2.ru переводится в вектор Линейное (векторное) пространство - student2.ru линейным преобразованием с матрицей А, а вектор Линейное (векторное) пространство - student2.ru в вектор Линейное (векторное) пространство - student2.ru линейным преобразованием с матрицей В, то последовательное применение этих преобразований равносильно линейному преобразованию, переводящему вектор Линейное (векторное) пространство - student2.ru в вектор Линейное (векторное) пространство - student2.ru (оно называется произведением составляющих преобразований).

С = В×А

Пример. Задано линейное преобразование А, переводящее вектор Линейное (векторное) пространство - student2.ru в вектор Линейное (векторное) пространство - student2.ru и линейное преобразование В, переводящее вектор Линейное (векторное) пространство - student2.ru в вектор Линейное (векторное) пространство - student2.ru . Найти матрицу линейного преобразования, переводящего вектор Линейное (векторное) пространство - student2.ru в вектор Линейное (векторное) пространство - student2.ru .

Линейное (векторное) пространство - student2.ru

Линейное (векторное) пространство - student2.ru

Линейное (векторное) пространство - student2.ru

С = В×А

Линейное (векторное) пространство - student2.ru

Линейное (векторное) пространство - student2.ru

Т.е. Линейное (векторное) пространство - student2.ru

Примечание: Если ïАï= 0, то преобразование вырожденное, т.е., например, плоскость преобразуется не в целую плоскость, а в прямую.

Наши рекомендации