Абстрактное векторное пространство

Восемь свойств сложения и умножения, установленных в геометрической модели, позволяют построить арифметическую модель и называются аксиомами векторного пространства.

Рассмотрим примеры моделей, удовлетворяющих этим аксиомам.

Пример 1.

Множество многочленов степени не выше Абстрактное векторное пространство - student2.ru

Абстрактное векторное пространство - student2.ru

образует векторное пространство, в котором мономы Абстрактное векторное пространство - student2.ru – базисные элементы, а коэффициенты многочлена Абстрактное векторное пространство - student2.ru – координаты вектора Абстрактное векторное пространство - student2.ru в этом базисе.

Пример 2.

Пусть Абстрактное векторное пространство - student2.ru , Абстрактное векторное пространство - student2.ru ,…, Абстрактное векторное пространство - student2.ru - « Абстрактное векторное пространство - student2.ru -местные наборы», Абстрактное векторное пространство - student2.ru имеет 1 на Абстрактное векторное пространство - student2.ru -м месте и нули на остальных местах, Абстрактное векторное пространство - student2.ru . Тогда объекты

Абстрактное векторное пространство - student2.ru

образуют векторное пространство с базисными элементами Абстрактное векторное пространство - student2.ru . Обозначим это пространство Абстрактное векторное пространство - student2.ru .

Векторное пространство Абстрактное векторное пространство - student2.ru , позволяет определить размерность всякого векторного пространства Абстрактное векторное пространство - student2.ru при помощи следующей аксиомы.

9. Аксиома размерности. Существует изоморфизм Абстрактное векторное пространство - student2.ru .

Определение абстрактного векторного пространства.

Пусть для элементов Абстрактное векторное пространство - student2.ru множества Абстрактное векторное пространство - student2.ru выполняется 8 аксиом векторного пространства и аксиома размерности. Тогда Абстрактное векторное пространство - student2.ru есть Абстрактное векторное пространство - student2.ru -мерное абстрактное векторное пространство, а Абстрактное векторное пространство - student2.ru является его арифметической моделью.

Элементы множества Абстрактное векторное пространство - student2.ru могут быть произвольной природы. Например:

· выборки Абстрактное векторное пространство - student2.ru измерений Абстрактное векторное пространство - student2.ru ;

· цены Абстрактное векторное пространство - student2.ru наименований Абстрактное векторное пространство - student2.ru ;

· наборы продуктов, расстояния между заводом изготовителем и сырьевыми складами и т.д.

Следствие.

Все Абстрактное векторное пространство - student2.ru -мерные векторные пространства имеют одну и ту же арифметическую модель, поэтому изоморфны.

Множество многочленов степени не выше Абстрактное векторное пространство - student2.ru в примере 1 образуют Абстрактное векторное пространство - student2.ru -мерное пространство. Изоморфизм, устанавливающий размерность, задается в этом случае так

Абстрактное векторное пространство - student2.ru , Абстрактное векторное пространство - student2.ru .

Здесь Абстрактное векторное пространство - student2.ru – мономы, а Абстрактное векторное пространство - student2.ru – базисные орты в Абстрактное векторное пространство - student2.ru .

Если векторное пространство Абстрактное векторное пространство - student2.ru содержит для всякого Абстрактное векторное пространство - student2.ru подмножество, Абстрактное векторное пространство - student2.ru , которое само является векторным пространством и для него выполняется аксиома размерности с заданным Абстрактное векторное пространство - student2.ru , то Абстрактное векторное пространство - student2.ru назовем бесконечным векторным пространством. Примером такого пространства является множество всех многочленов. Подмножества многочленов степени не выше Абстрактное векторное пространство - student2.ru образуют Абстрактное векторное пространство - student2.ru -мерные подпространства в этом пространстве.

Аксиомы скалярного произведения векторов.

Модель Абстрактное векторное пространство - student2.ru -мерного пространства Абстрактное векторное пространство - student2.ru не содержит понятия длинны вектора при Абстрактное векторное пространство - student2.ru . Для определения длинны вектора в Абстрактное векторное пространство - student2.ru при Абстрактное векторное пространство - student2.ru воспользуемся связью между длинной вектора и скалярным произведением. При этом скалярное произведение зададим аксиоматически теми свойствами, которыми оно определяется в трехмерном векторном пространстве.

Напомним, что в геометрической модели трехмерного скалярного произведения задается представлением

Абстрактное векторное пространство - student2.ru (4)

В школьном курсе геометрии из этого представления выводятся три свойства:

1) Абстрактное векторное пространство - student2.ru , Абстрактное векторное пространство - student2.ru (5)

2) Абстрактное векторное пространство - student2.ru , Абстрактное векторное пространство - student2.ru и Абстрактное векторное пространство - student2.ru

3) Абстрактное векторное пространство - student2.ru ; Абстрактное векторное пространство - student2.ru .

Следствие.

Из формулы (4) находим представление длины вектора через скалярное произведение

Абстрактное векторное пространство - student2.ru , Абстрактное векторное пространство - student2.ru (6)

Если в качестве базиса выбрать векторы Абстрактное векторное пространство - student2.ru , то используя свойства 1-3 находим координатное представление скалярного произведения:

Абстрактное векторное пространство - student2.ru , Абстрактное векторное пространство - student2.ru

Абстрактное векторное пространство - student2.ru (7)

Мы воспользовались тем, что Абстрактное векторное пространство - student2.ru , Абстрактное векторное пространство - student2.ru .

Следствие.

Используя (6) и (7), заключаем, что

Абстрактное векторное пространство - student2.ru (8)

Схему, по которой мы из определения скалярного произведения (4) получили формулу длины вектора (8), повторим в абстрактном векторном пространстве с той разницей, что: 1) скалярное произведение векторов зададим при помощи трех аксиом 5 и 2) существование скалярного произведения в координатной модели Абстрактное векторное пространство - student2.ru установим формулой, аналогичной (7):

Абстрактное векторное пространство - student2.ru Абстрактное векторное пространство - student2.ru (9)

где Абстрактное векторное пространство - student2.ru , Абстрактное векторное пространство - student2.ru в Абстрактное векторное пространство - student2.ru .

Теперь, согласно нашей схеме, длинна вектора определена формулой (6). Из (6) с учетом (9) получаем формулу длинны вектора в Абстрактное векторное пространство - student2.ru -мерном арифметическом пространстве аналогичную (8) в виде

Абстрактное векторное пространство - student2.ru . (10)

Вывод 4.

В трехмерном векторном пространстве длина вектора (8) находится благодаря теореме Пифагора. В абстрактном векторном пространстве размерности больше трех аксиомами (5) задается скалярное произведение, а длина выражается через скалярное произведение по формуле (6). В арифметической модели Абстрактное векторное пространство - student2.ru скалярное произведение существует в виде (9), а длина вектора определяется согласно формуле (10).

Определение.

Абстрактное Абстрактное векторное пространство - student2.ru -мерное векторное пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее трем аксиомам (5) называем Абстрактное векторное пространство - student2.ru -мерным векторным евклидовым пространством. Его координатная модель Абстрактное векторное пространство - student2.ru со скалярным произведением (9) называется декартовой моделью. (Рене Декарт (1596-1650) впервые ввел координатную модель трехмерного евклидова пространства).

Наши рекомендации